Question

【題目】已知函數(shù)，其中.

（1）討論的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時，證明：；

（3）求證：對任意正整數(shù)，都有（其中，為自然對數(shù)的底數(shù)）.

Answer 1

【答案】（1）討論見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析

【解析】

（1）求出，按在定義域是否恒成立分類討論，不恒成立，求出，的解，即可求出結(jié)論；

（2）要證，只需證，令，只要證，求導(dǎo)，求出極值最值，即可得證；

（3）由（2）得（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立），令，則，結(jié)合，累加再利用裂項相消法，對數(shù)運算，即可得出結(jié)論.

（1）函數(shù)的定義域為，，

①當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增；

②當(dāng)時，令，解得：，

當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，

當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增.

綜上，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

（2）當(dāng)時，，

要證明，即證，即，

設(shè)，則，令得，.

當(dāng)時，，當(dāng)時，，

所以為極大值點，也為最大值點，

所以，即，

故.

（3）由（2）得（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立），

令，則，

所以

，

即，

所以.