Question

已知y=f（x）的反函數(shù)是y=f^-1（x），若方程f（x）+x-1=0與f^-1（x）+x-1=0的實(shí)數(shù)解分別為α，β，則α+β=（ ）
A．1
B．2
C．-1
D．-2

Answer 1

【答案】分析：將原方程f（x）+x-1=0化成：f（x）=1-x，f^-1（x）+x-1=0化成：f^-1（x）=1-x，再分別畫(huà)出式子兩邊對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象，將原方程的解轉(zhuǎn)化成圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，再結(jié)合互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)關(guān)系，得出α，β的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是直線y=x與y=1-x交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，，最后利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求得結(jié)果．
解答：解：方程f（x）+x-1=0化成：f（x）=1-x，
f^-1（x）+x-1=0化成：f^-1（x）=1-x，
分別畫(huà)出函數(shù)y=f（x），y=f^-1（x），y=1-x的圖象，如圖．
原方程的根看成是圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
由于函數(shù)y=f（x），y=f^-1（x）的圖關(guān)于直線 y=x對(duì)稱(chēng)，
∴α，β的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是直線y=x與y=1-x交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
直線y=x與y=1-x交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是：
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：α+β=1．
故選A．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)關(guān)系，考查了數(shù)形結(jié)合的思想，函數(shù)與方程思想．屬于基礎(chǔ)題．