【題目】如圖,點分別為橢圓
的左右頂點和右焦點,過點
的直線交橢圓
于點
.
(1)若,點
與橢圓
左準(zhǔn)線的距離為
,求橢圓
的方程;
(2)已知直線的斜率是直線
斜率的
倍.
①求橢圓的離心率;
②若橢圓的焦距為
,求
面積的最大值.
【答案】(1).(2)①
;②
【解析】
由所給條件列出關(guān)于的式子,求出橢圓方程;(2)①方法一,首先利用點在橢圓上,求得
,再利用直線
方程與橢圓方程聯(lián)立,求得
,再利用
的關(guān)系,求得橢圓離心率;方法二,利用
的關(guān)系,分別設(shè)直線
的方程為
,直線
的方程為
,與橢圓方程聯(lián)立,解出點
的坐標(biāo),利用點
三點共線,求得離心率.②首先求得橢圓方程,并表示
面積
,由①方法一,代入根與系數(shù)的關(guān)系,求
面積的最大值.
(1)∵,點
與橢圓
左準(zhǔn)線的距離為
,
∴解得
∴橢圓的方程為
.
(2)①法一:顯然,
,
,設(shè)
,
,
則∵點在橢圓
上,∴
,
∴(i),
設(shè)直線,
與橢圓聯(lián)立方程組消去
得:
,其兩根為
,
∴(*)
∴
,
將(*)代入上式化簡得:(ii)
又(iii)
由(i)(ii)(iii)得:,
∴,即
,解得
或
,
又,∴
,即橢圓
的離心率為
.
法二:顯然,
,
,
∵,∴設(shè)直線
的方程為
,直線
的方程為
.
由得
,
注意到其一根為,∴另一根為
,
∴,即
,
同理由得
.
由三點共線得
,
∴,
化簡得:,∴
,
∴,即橢圓
的離心率為
.
②由①,又橢圓
的焦距為
,∴
,∴
,∴
,
由①方法一得
∴面積
,
令,
,則
,
,
∵,∴
在
為減函數(shù),
∴,即
時,
,即
面積的最大值為
.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓經(jīng)過點
,
,
是C的左、右焦點,過
的直線l與C交于A,B兩點,且
的周長為
.
(1)求C的方程;
(2)若,求l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著,它在幾何學(xué)中的研究比西方早1000多年,在《九章算術(shù)》中,將底面為直角三角形,且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為塹堵(qian du);陽馬指底面為矩形,一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐,鱉膈(bie nao)指四個面均為直角三角形的四面體.如圖在塹堵中,
,
.給出下列四個結(jié)論:
①四棱錐為陽馬;
②直線與平面
所成角為
;
③當(dāng)時,異面直線
與
所成的角的余弦值為
;
④當(dāng)三棱錐體積最大時,四棱錐
的外接球的表面積為
.
其中,所有正確結(jié)論的序號是______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩地相距300千米,汽車從甲地勻速行駛到乙地,速度不超過100千米/小時,已知汽車每小時的運輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成,可變部分與速度(千米/小時)的平方成正比,比例系數(shù)為
(
),固定部分為1000元.
(1)把全程運輸成本(元)表示為速度
(千米/小時)的函數(shù),并指出這個函數(shù)的定義域;
(2)為了使全程運輸成本最小,汽車應(yīng)以多大速度行駛?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為
,曲線C的極坐標(biāo)方程為
.
(Ⅰ)求直線l和曲線C的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)點M為曲線C上一點,求M到直線l的最小距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在①是
與
的等差中項;②
是
與
的等比中項;③數(shù)列
的前5項和為65這三個條件中任選一個,補充在橫線中,并解答下面的問題.
已知是公差為2的等差數(shù)列,其前
項和為
,________________________.
(1)求;
(2)設(shè),是否存在
,使得
?若存在,求出
的值;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義:若一個函數(shù)存在極大值,且該極大值為負數(shù),則稱這個函數(shù)為“函數(shù)”.
(1)判斷函數(shù)是否為“
函數(shù)”,并說明理由;
(2)若函數(shù)是“
函數(shù)”,求實數(shù)
的取值范圍;
(3)已知,
,
、
,求證:當(dāng)
,且
時,函數(shù)
是“
函數(shù)”.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù),曲線
在點
處的切線斜率為
.
(1)證明:有且只有一個零點.
(2)當(dāng)時,
恒成立,求整數(shù)
的最小值.
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