Question

已知函數(shù)f（x）=sin²x+acosx+a，a∈R．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的最大值；
（2）如果對(duì)于區(qū)間[0，

π

2

]上的任意一個(gè)x，都有f（x）≤1成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)a=1時(shí)，利用三角函數(shù)的公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后求函數(shù)f（x）的最大值；
（2）要使都有f（x）≤1成立，則利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上最大值即可．

解答：解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=-cos2x+cosx+2=-(cosx-

1

2

)2+

9

4

，
∵cosx∈[-1，1]，
∴當(dāng)cosx=

1

2

，即x=2kπ±

π

3

(k∈Z)時(shí)，
[f(x)]max=

9

4

．
（2）依題得 sin²x+acosx+a≤1，
即sin²x+a（cosx+1）≤1對(duì)任意x∈[0，

π

2

]恒成立．
而1≤cosx+1≤2，
∴a≤

cos2x

cosx+1

對(duì)任意x∈[0，

π

2

]恒成立．
令t=cosx+1，則1≤t≤2，
∴a≤

(t-1)2

t

=

t2-2t+1

t

=t+

1

t

-2對(duì)任意1≤t≤2恒成立，
于是a≤(t+

1

t

-2)min．
又∵t+

1

t

-2≥0，當(dāng)且僅當(dāng) t=1，即x=

π

2

時(shí)取等號(hào)
∴a≤0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用三角函數(shù)的公式進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵．