Question

14．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sin$\frac{x}{2}$，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow$=（$\sqrt{3}$cos$\frac{x}{2}$-sin$\frac{x}{2}$，1），函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$，△ABC三個內角A，B，C的對邊分別為a，b，c．
（1）求f（x）的單調遞增區(qū)間：
（2）若f（B+C）=1，a=$\sqrt{3}$，b=1．求△ABC的面積S．

Answer 1

分析 （1）利用數(shù)量積運算性質、和差公式、正弦函數(shù)的單調性即可得出；
（2）由f（B+C）=1，可得$sin（B+C+\frac{π}{6}）$=1，化為sin$（A-\frac{π}{6}）$=1，根據(jù)A∈（0，π），可得$A=\frac{2π}{3}$．再利用正弦定理可得：$\frac{\sqrt{3}}{sin\frac{2π}{3}}$=$\frac{1}{sinB}$，可得B，進而得到C．于是△ABC的面積S=$\frac{1}{2}absinC$．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=$sin\frac{x}{2}$（$\sqrt{3}$cos$\frac{x}{2}$-sin$\frac{x}{2}$）+$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}sinx$+$\frac{1-2si{n}^{2}\frac{x}{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}sinx$+$\frac{1}{2}cosx$=$sin（x+\frac{π}{6}）$，
由$2kπ-\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，解得2kπ$-\frac{2π}{3}$≤x≤$\frac{π}{3}$+2kπ，（k∈Z）．
∴f（x）的單調遞增區(qū)間是[2kπ$-\frac{2π}{3}$，$\frac{π}{3}$+2kπ]，（k∈Z）．
（2）∵f（B+C）=1，
∴$sin（B+C+\frac{π}{6}）$=1，
∴$sin（π-A+\frac{π}{6}）$=1，
∴sin$（A-\frac{π}{6}）$=1，
∵A∈（0，π），
∴$（A-\frac{π}{6}）$∈$（-\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}）$，
解得$A-\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，∴$A=\frac{2π}{3}$．
由正弦定理可得：$\frac{\sqrt{3}}{sin\frac{2π}{3}}$=$\frac{1}{sinB}$，∴sinB=$\frac{1}{2}$，又B為銳角，∴$B=\frac{π}{6}$，可得C=$\frac{π}{6}$．
∴△ABC的面積S=$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×1×sin\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

點評 本題考查了數(shù)量積運算性質、和差公式、正弦函數(shù)的單調性、正弦定理、三角形內角和定理、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．