Question

曲線C₁的極坐標方程ρcos²θ=sinθ，曲線C₂的參數方程為

x=3-t y=1-t

，以極點為原點，極軸為x軸正半軸建立直角坐標系，則曲線C₁上的點與曲線C₂上的點最近的距離為

 

．

Answer 1

考點：參數方程化成普通方程

專題：坐標系和參數方程

分析：曲線C₁的極坐標方程ρcos²θ=sinθ，化為ρ²cos²θ=ρsinθ，可得直角坐標方程x²=y．曲線C₂的參數方程為

x=3-t y=1-t

，化為直角坐標方程x-y-2=0．設P（x，x²）為曲線C₁：x²=y上的任意一點．利用點到直線的距離公式和二次函數的單調性即可得出．

解答： 解：由曲線C₁的極坐標方程ρcos²θ=sinθ，化為ρ²cos²θ=ρsinθ，化為x²=y．
曲線C₂的參數方程為

x=3-t y=1-t

，化為x-y-2=0．
設P（x，x²）為曲線C₁：x²=y上的任意一點．
則曲線C₁上的點P到曲線C₂上的點的距離d=

|x-x2-2|

2

=

|(x- 1 2 )2+ 7 4 |

2

≥

7 2

8

．當且僅當x=

1

2

，即取點P(

1

2

，

1

4

)時取等號．
∴曲線C₁上的點與曲線C₂上的點最近的距離為

7 2

8

．
故答案為：

7 2

8

．

點評：本題考查了極坐標方程及參數方程化為直角坐標方程的方法、點到直線的距離公式和二次函數的單調性等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．