Question

如圖，給出定點(diǎn)A(a，0)  (a>0，a≠1)和直線l：x=－1，B是直線l上的動點(diǎn)，∠BOA的角平分線交AB于點(diǎn)C，求點(diǎn)C的軌跡方程，并討論方程表示的曲線類型與a值的關(guān)系．

Answer 1

答案見解析

解析:

解法一：依題意，記B(－1，b) (b∈R)，則直線OA和OB的方程分別為y=0和y=－bx．設(shè)點(diǎn)C(x，y)，則有0≤x<a，由OC平分∠AOB，知點(diǎn)C到OA、OB距離相等．根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得．                            ①               ——4分

依題設(shè)，點(diǎn)C在直線AB上，故有

            ．                    ——6分

由  x－a≠0，得  ．                   ②

將②式代入①代得

，

整理得y²[(1－a)x²－2ax+(1+a)y²]=0．                                  ——9分

若y≠0，則(1－a)x²－2ax+(1+a)y²=0  (0<x<a)；

若y=0，則b=0，∠AOB=π，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，0)，滿足上式．

綜上得點(diǎn)C的軌跡方程為

          (1－a)x²－2ax+(1+a)y²=0  (0≤x<a)．                ——10分

∵ a≠1，

∴     (0≤x<a)．         ③                ——12分

由此知，當(dāng)0<a<1時，方程③表示橢圓弧段；

當(dāng)a>1時，方程③表示雙曲線一支的弧段．                             ——14分

解法二：如圖，設(shè)D是l與x軸的交點(diǎn)，過點(diǎn)C作CE⊥x軸，E是垂足．

(ⅰ)當(dāng)|BD|≠0時，設(shè)點(diǎn)C(x，y)，則0<x<a，y≠0．

由CE∥BD得  ．                      ——3分

∵ ∠COA=∠COB=∠COD－∠BOD=π－∠COA－∠BOD，

∴ 2∠COA=π－∠BOD．

∵           ——6分

．

∴

整理得(1－a)x²－2ax+(1+a)y²=0  (0<x<a)．                              ——9分

(ⅱ) 當(dāng)|BD|=0時，∠BOA=π，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為 (0，0)，滿足上式．

綜合(ⅰ)，(ⅱ)，得點(diǎn)C的軌跡方程為

          (1－a)x²－2ax+(1+a)y²=0  (0≤x<a)．              ——10分

以下同解法一．