Question

數(shù)列{a_n}中，a₁=1，當(dāng)n≥2時(shí)，其前n項(xiàng)的和S_n滿足S_n²=a_n（S_n-1）．
（Ⅰ）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求滿足T_n≥6的最小正整數(shù)n．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）把a(bǔ)_n=S_n-S_n-1代入題設(shè)遞推式整理求得，進(jìn)而利用等差數(shù)列的定義推斷出數(shù)列是等差數(shù)列
（Ⅱ）依據(jù)（Ⅰ）可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，代入b_n中求得其表達(dá)式，進(jìn)而利用對(duì)數(shù)運(yùn)算的法則求得T_n，根據(jù)T_n≥6利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求得n的范圍，進(jìn)而求得最小正整數(shù)n．
解答：解（Ⅰ）∵S_n²=a_n（S_n-1）∴S_n²=（S_n-S_n-1）（S_n-1）（n≥2）
∴S_nS_n-1=S_n-1-S_n，即，
∴是1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
∴，
∴（n+2）（n+1）≥128∵
∴n≥10，
所以滿足T_n≥6的最小正整數(shù)為10．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列的遞推式，等差關(guān)系的確定，數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式．