Question

無(wú)論m為任何實(shí)數(shù)，直線l：y=x+m與雙曲線C：（b＞0）恒有公共點(diǎn)
（1）求雙曲線C的離心率e的取值范圍．
（2）若直線l過(guò)雙曲線C的右焦點(diǎn)F，與雙曲線交于P，Q兩點(diǎn)，并且滿足，求雙曲線C的方程．

Answer 1

解：（1）聯(lián)立，得b²x²-2（x+m）²-2b²=0
（b²-2）x²-4mx-2（m²+b²）=0
當(dāng)b²=2時(shí)，m=0，直線與雙曲線無(wú)交點(diǎn)，矛盾
∴b²≠2．∴e≠．
∵直線與雙曲線恒有交點(diǎn)，△=16m²+8（b²-2）（m²+b²）≥0恒成立
∴16m²+8（b²-2）m²+8（b²-2）b²≥0
∴b²≥2-m²，∴e≥．e＞．
（2）F（c，0）．L，y=x-c，
，（b²-2）y²+2cb²y+b²c²-2b²=0
∴
∵，∴，
整理得，=
∵b²＞0，∴c²-2=b²，=，∴b²=7
∴雙曲線C的方程為
分析：（1）欲求雙曲線C的離心率e的取值范圍，只需找到a，c 的齊次不等式，根據(jù)直線l：y=x+m與雙曲線C：（b＞0）恒有公共點(diǎn)，聯(lián)立方程后，方程組必有解，△≥0成立，即可得到含a，c的齊次不等式，離心率e的取值范圍可得．
（2）先設(shè)直線l的方程，與雙曲線方程聯(lián)立，求出y₁，y₂，代入，化簡(jiǎn)，即可求出b²，代入即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了雙曲線離心率范圍的求法，以及直線與雙曲線位置關(guān)系的判斷，屬于綜合題．