已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F2(3,0),離心率為e=
3
2

(I)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線經(jīng)過點(diǎn)P(1,2),與橢圓相交于A,B兩點(diǎn),AB的中點(diǎn)為M,求M的軌跡方程.
分析:(Ⅰ)由題意得c=3,
c
a
=
3
2
,由此可得橢圓的方程;
(Ⅱ)利用點(diǎn)差法,結(jié)合直線的斜率,即可求M的軌跡方程.
解答:解:(Ⅰ)由題意得c=3,
c
a
=
3
2
,∴a=2
3

結(jié)合a2=b2+c2,解得a2=12,b2=3.
所以,橢圓的方程為
x2
12
+
y2
3
=1
;
(Ⅱ)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y),則
x12
12
+
y12
3
=1
x22
12
+
y22
3
=1

兩方程相減可得
2x(x1-x2)
12
+
2y(y1-y2)
3
=0

y1-y2
x1-x2
=-
x
4y

∵直線經(jīng)過點(diǎn)P(1,2),
∴-
x
4y
=
y-2
x-1

∴x(x-1)+4y(y-2)=0
即M的軌跡方程為x(x-1)+4y(y-2)=0.
點(diǎn)評:本題考查橢圓方程的求法和直線與橢圓位置關(guān)系的綜合運(yùn)用,考查點(diǎn)差法的運(yùn)用,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,左頂點(diǎn)為A,若|F1F2|=2,橢圓的離心率為e=
1
2

(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,
(Ⅱ)若P是橢圓上的任意一點(diǎn),求
PF1
PA
的取值范圍
(III)直線l:y=kx+m與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)M,N(均不是長軸的頂點(diǎn)),AH⊥MN垂足為H且
AH
2
=
MH
HN
,求證:直線l恒過定點(diǎn).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)F(-c,0)是長軸的一個(gè)四等分點(diǎn),點(diǎn)A、B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn),過點(diǎn)F且不與y軸垂直的直線l交橢圓于C、D兩點(diǎn),記直線AD、BC的斜率分別為k1,k2
(1)當(dāng)點(diǎn)D到兩焦點(diǎn)的距離之和為4,直線l⊥x軸時(shí),求k1:k2的值;
(2)求k1:k2的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率是
3
2
,且經(jīng)過點(diǎn)M(2,1),直線y=
1
2
x+m(m<0)
與橢圓相交于A,B兩點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)當(dāng)m=-1時(shí),求△MAB的面積;
(3)求△MAB的內(nèi)心的橫坐標(biāo).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•威海二模)已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率為e=
6
3
,過右焦點(diǎn)做垂直于x軸的直線與橢圓相交于兩點(diǎn),且兩交點(diǎn)與橢圓的左焦點(diǎn)及右頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積為
2
6
3
+2

(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)M(0,2),直線l:y=1,過M任作一條不與y軸重合的直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn),若N為AB的中點(diǎn),D為N在直線l上的射影,AB的中垂線與y軸交于點(diǎn)P.求證:
ND
MP
AB
2
為定值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F,過F作y軸的平行線交橢圓于M、N兩點(diǎn),若|MN|=3,且橢圓離心率是方程2x2-5x+2=0的根,求橢圓方程.

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