已知定點F（1，0），動點P在y軸（不含原點）上運動，過點P作線段PM交x軸于點M，使
MP
•
PF
=0；再延長線段MP到點N，使
MP
=
PN
．
（Ⅰ）求動點N的軌跡C的方程；
（Ⅱ）直線L與軌跡C交于A、B兩點，如果
OA
•
OB
=-4且|
AB
|=4
6
，求直線L的方程．
分析：（Ⅰ）直接利用條件求方程．
（2）分斜率不存在和斜率存在兩種情況求直線方程，運用弦長公式．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)N（x，y），P（0，p），
由題意知，P為MN的中點，∴M（-x，2p-y），
又M在x軸上，∴2p-y=0，即p=
y
2
，∴P（0，
y
2
），M（-x，0）
∵
PM
•
PF
=0，∴（-x，-
y
2
）×（1，-
y
2
）=0，∴y2=4x（x＞0）
∴動點N的軌跡C的方程為y2=4x（x＞0）
（Ⅱ）若直線L的斜率不存在，設(shè)直線L的方程為x=a＞0，
此時，A（a，2
a
），B（a，-2
a
），
OA
•
OB
=a2-4a=-4，
∴a=2，
AB
=(0，-4
2
)，|AB|=4
2
¹4
6
，不符合題意，舍去．
∴直線L的斜率存在．
設(shè)直線L的方程為y=kx+b，A(
y
2
1
4
，y1)、B(
y
2
2
4
，y2)，
由
y=kx+b
y2=4x
消去y整理得，ky2-4y+4b=0，
△=16-16kb＞0，y1+y2=
4
k
，
y1y2=
4b
k
OA
•
OB
=
y
2
1
y
2
2
16
+y1y2=
b2+4kb
k2
=-4，
∴b=-2k，∴y1y2=-8
|AB|=
(1+
1
k2
)[(y1+y2)2-4y1y2]
=
k2+1
k2
(
16
k2
+32)
=
4
k2
(k2+1)(1+2k2)
，
∵|AB|=4
6
∴
4
k2
(k2+1)(1+2k2)
=4
6

4k4-3k2-1=0
∴k=±1∴當(dāng)k=1時，b=-2，
當(dāng)k=-1時，b=2；
所以直線L的方程為 y=x-2或y=-x+2．
點評：注意分類討論的解題思想，運用弦長公式．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知定點F（1，0），動點P在y軸上運動，過點P作PM⊥PF并交x軸于M點，延長MP到N，使|PN|=|PM|．
（1）求動點N的軌跡C的方程；
（2）直線l與動點N的軌跡C交于A、B兩點，若
OA
•
OB
=-4，且4
6
≤|AB|≤4
30
，求直線l的斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定點F（1，0），動點P（異于原點）在y軸上運動，連接FP，過點P作PM交x軸于點M，并延長MP到點N，且
PM
•
PF
=0，|
PN
|=|
PM
|．
（1）求動點N的軌跡C的方程；
（2）若直線l與動點N的軌跡交于A、B兩點，若
OA
•
OB
=-4且4
6
≤|AB|≤4
30
，求直線l的斜率k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定點F（1，0），F(xiàn)′（-1，0），動點P滿足|
PF
|，
2
2
|
FF′
|，|PF′|成等差數(shù)列
（1）求動點P的軌跡E的方程
（2）過點F（1，0）且與x軸不重合的直線l與E交于M、N兩點，以MN為對角線的正方形的第三個頂點恰在y軸上，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•濰坊二模）如圖，已知定點F（-1，0），N（1，0），以線段FN為對角線作周長是4
2
的平行四邊形MNEF．平面上的動點G滿足|
GO
|=2（O為坐標(biāo)原點）
（I）求點E、M所在曲線C1的方程及動點G的軌跡C2的方程；
（Ⅱ）已知過點F的直線l交曲線C1于點P、Q，交軌跡C2于點A、B，若|
AB
|∈（2
3
，
15
），求△NPQ內(nèi)切圓的半徑的取值范圍．

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