Question

在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知向量

m

=（cosA，cosB）、

n

=（2c+b，a），且

m

⊥

n

．
（1）求角A的大�。�
（2）若a=4，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

考點：正弦定理,平面向量數量積的運算

專題：三角函數的圖像與性質,解三角形

分析：（1）利用數量積之間的關系，結合兩角和的三角函數的公式，即可求角A的大��；
（2）若a=4，根據余弦定理，結合三角形的面積公式，即可求△ABC面積的最大值．

解答： 解：（1）∵

m

⊥

n

∴

m

•

n

=(cosA，cosB)•(2c+b，a)=(2c+b)cosA+acosB=0
由正弦定理可得（2sinC+sinB）cosA+sinAcosB=0，
即2sinCcosA+（sinBcosA+sinAcosB）=0，
整理可得sinC+2sinCcosA=0．
∵0＜C＜π，sinC＞0，
∴cosA=-

1

2

，
∴A=

2π

3

；
（2）由余弦定理，a²=b²+c²-2bccosA，
即16=b²+c²+bc≥3bc，
故bc≤

16

3

．
故△ABC的面積為S=

1

2

bcsinA=

3

4

bc≤

4 3

3

，
當且僅當b=c=

4 3

3

時，△ABC面積取得最大值

4 3

3

．

點評：本題主要考查解三角形的應用，利用余弦定理以及兩角和差的三角公式是解決本題的關鍵．