Question

已知直線l：y=mx+1與曲線C：ax²+y²=2（m、a∈R）交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）當(dāng)m=0時(shí)，有∠AOB=

π

3

，求曲線C的方程；
（2）當(dāng)實(shí)數(shù)a為何值時(shí)，對(duì)任意m∈R，都有

OA

•

OB

為定值T？指出T的值；
（3）已知點(diǎn)M（0，-1），當(dāng)a=-2，m變化時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P滿足

MP

=

OA

+

OB

，求動(dòng)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的變化范圍．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)m=0時(shí)，推出A，B的坐標(biāo)，利用∠AOB=

π

3

，求出a的值，即可得到曲線C的方程；
（2）設(shè)A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），聯(lián)立方程，通過韋達(dá)定理結(jié)合

OA

•

OB

的表達(dá)式為定值T，即可求出a的值以及T的值；
（3）設(shè)出動(dòng)點(diǎn)P，求出

MP

=

OA

+

OB

，結(jié)合（2）求出y=

2+m2

2-m2

，通過判別式求出m的范圍，即可求動(dòng)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的變化范圍．

解答：解：（1）當(dāng)m=0時(shí)，聯(lián)立方程可得：ax²=1，∴x=±

1 a

∴A(

1 a

，1)，B(-

1 a

，1)，∵∠AOB=

π

3

，∴

1

2

=

- 1 a +1

1 a +1

解得：a=3，
∴方程為

3x2

2

+

y2

2

=1
（2）設(shè)A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），聯(lián)立方程：

y=mx+1 ax2+y2=2

可得：
（a+m²）x²+2mx-1=0
∴

x1+x2=- 2m a+m2 x1x2=- 1 a+m2

∴

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=x1x2+(mx1+1)(mx2+1)=（m²+1）x₁x₂+m（x₁+x₂）+1=-

m2+1

a+m2

-

2m2

a+m2

+1=

a-2m2-1

a+m2

要使

OA

•

OB

=T，則-2m²+（a-1）=Tm²+Ta∴T=-2且a-1=Ta即a=

1

3

且T=-2
而當(dāng)a=

1

3

時(shí)，

1

3

+m2≠0且△=4m2+4(

1

3

+m2)=8m2+

4

3

＞0恒成立∴當(dāng)實(shí)數(shù)a=

1

3

時(shí)，對(duì)任意m∈R，都有

OA

•

OB

=-2
（3）設(shè)P（x，y），∴

MP

=(x，y+1)，∴y+1=y1+y2=m(x1+x2)+2=

4

2-m2

∴y=

2+m2

2-m2

又對(duì)方程（m²-2）x²+2mx-1=0，△=8m²-8＞0，∴m²＞1且m²≠2
∴y=-1+

4

2-m2

，∴y＞3或y＜-1

點(diǎn)評(píng)：本題難題，考查曲線的軌跡方程的求法，韋達(dá)定理的應(yīng)用，向量的數(shù)量積的計(jì)算以及判別式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化思想，整體思想的應(yīng)用，變量范圍問題一般通過一個(gè)等式與一個(gè)不等式求解．