Question

一直線過(guò)拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F，且交拋物線于A，B兩點(diǎn)，C為拋物線準(zhǔn)線的一點(diǎn)．
（1）求證：∠ACB不可能是鈍角；
（2）是否存在這樣的點(diǎn)C，使得△ABC為正三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：設(shè)，
直線AB方程為
由，得：y²-2pty-p²=0，
則
∴．
，
∴
∴不可能為鈍角，
故∠ACB不可能是鈍角
（2）假設(shè)存在點(diǎn)C，使得△ABC為正三角形
由（1）得：線段AB的中點(diǎn)為
①若直線AB的斜率不存在，這時(shí)t=0，，
點(diǎn)C的坐標(biāo)只可能是，由，
得：，矛盾，于是直線AB的斜率必存在．
②由CM⊥AB，得：k_CM•k_AB=-1，
即，
∴m=pt³+2pt，
∴，|AB|=2p（t²+1），
由，得：，
∴
故存在點(diǎn)，使得△ABC為正三角形．
分析：（1）設(shè)，直線AB方程為，由得：y²-2pty-p²=0，由此能夠證明∠ACB不可能是鈍角
（2）假設(shè)存在點(diǎn)C，使得△ABC為正三角形．由（1）得：線段AB的中點(diǎn)為，由此能夠推導(dǎo)出存在點(diǎn)，使得△ABC為正三角形．
點(diǎn)評(píng)：本題考查角不能為鈍角的證明，判斷是否存在滿足條件的點(diǎn)使得三角形為正三角形．具體涉及到拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，直線和拋物線的位置關(guān)系，是難題．