Question

如圖，在四棱錐O-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，OA⊥底面ABCD，OA=2，M為OA的中點(diǎn)，N為BC中點(diǎn)，以A為原點(diǎn)，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用空間向量解答以下問(wèn)題
（1）證明：直線(xiàn)BD⊥OC
（2）證明：直線(xiàn)MN∥平面OCD
（3）求異面直線(xiàn)AB與OC所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：以A為原點(diǎn)，以AO，AB，AD分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，A-xyz．
（1）要證明BD⊥OC，只要證明即可；
（2）設(shè)平面OCD的法向量為，可得，求出法向量，只要證明即可；
（3）利用=即可得出．
解答：解：以A為原點(diǎn)，以AO，AB，AD分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，A-xyz．
則B（1，0，0），D（0，1，0），C（1，1，0），O（0，0，2），M（0，0，1），N．
（1）∵，，，
∴，∴BD⊥OC；
（2），設(shè)平面OCD的法向量為，則，
令y=2，則x=0，z=1，∴，
又，∴，
而MN?平面OCD，∴MN∥平面OCD．
（3），∴===，
∴異面直線(xiàn)AB與OC所成角的余弦值為．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系的方法求證垂直、線(xiàn)面平行及求出異面直線(xiàn)所成的角等是解題的關(guān)鍵．