Question

已知定義在上的函數(shù)，其中為常數(shù).

（1）當(dāng)是函數(shù)的一個極值點，求的值；

（2）若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；

（3）當(dāng)時，若，在處取得最大值，求實數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）；（3） .

【解析】

試題分析：(1) 本小題首先由可得，因為是是函數(shù)的一個極值點，所以；

(2) 本小題首先利用導(dǎo)數(shù)的公式和法則求得，根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，討論參數(shù)的不同取值對單調(diào)性的影響；

（3）本小題首先求得，然后求得導(dǎo)數(shù)，然后討論單調(diào)性，求最值即可.

試題解析：（1）由可得

因為是是函數(shù)的一個極值點，

所以

（2）①當(dāng)時，在區(qū)間上是增函數(shù)，

所以符合題意

②當(dāng)時，，令

當(dāng)時，對任意的，，所以符合題意

當(dāng)時，時，，所以，即符合題意

綜上所述，實數(shù)的取值范圍為

（3）當(dāng)時，

所以

令，即

顯然

設(shè)方程的兩個實根分別為，則

不妨設(shè)

當(dāng)時，為極小值

所以在上的最大值只能是或

當(dāng)時，由于在上是遞減函數(shù)，所以最大值為

所以在上的最大值只能是或

由已知在處取得最大值，所以

即，解得

又因為，所以實數(shù)的取值范圍為

考點：1.導(dǎo)數(shù)公式與法則；2.函數(shù)的單調(diào)性；3.等價轉(zhuǎn)化.