Question

如圖，在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中,AB=BC,D,E分別為BB₁,AC₁的中點.

(1)證明:ED為異面直線BB₁與AC₁的公垂線;

(2)設AA₁=AC=AB,求二面角A₁—AD—C₁的大小.

Answer 1

（1）證明:如圖,建立直角坐標系O—xyz,其中原點O為AC的中點

設A(a,0,0),B(0,b,0),B₁(0,b,2c),

則C(-a,0,0)、C₁(-a,0,2c)、E(0,0,c)、D(0,b,c).

=(0,b,0),=(0,0,2c).

C·=0,∴ED⊥BB₁

又=(-2a,0,2c),

·=0,∴ED⊥AC₁.

∴ED是異面直線BB₁與AC₁的公垂線.

（2）解:不妨設A(1,0,0),

則B(0,1,0),C(-1,0,0),A₁(1,0,2),

=(-1,-1,0)、=(-1,1,0)、=(0,0,2)

·=0、·=0,即BC⊥AB,BC⊥AA₁,

又AB∩AA₁=A,∴BC⊥平面A₁AD.

又E(0,0,1),D(0,1,1),C(-1,0,0),

=(-1,0,-1), =(-1,0,1),C=(0,1,0),

·=0, ·=0,即EC⊥AE,EC⊥ED.

又AE∩ED=E,∴EC⊥平面C₁AD.

cos〈,〉=,即得和的夾角為60°.

∴二面角A₁—AD—C₁為60°.