Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD是正三角形，且垂直于底面ABCD，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠BAD=60°，M為PC的中點(diǎn)．
（1）求證：PA∥平面BDM；
（2）求直線AC與平面ADM所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接AC，交BD于點(diǎn)O，連接MO，由三角形中位線定理易得MO∥PA，進(jìn)而由線面平行的判定定理得到PA∥平面BDM；
（2）利用等體積法，根據(jù)V_M-ADC=V_C-ADM，我們分別計(jì)算出S_△ADC，點(diǎn)M到面ADC的距離h₁，S_△ADM的大小，即可求出C點(diǎn)到平面ADM的距離，進(jìn)而求出直線AC與平面ADM所成角的正弦值．
解答：解：（1）證明：連接AC，交BD于點(diǎn)O，連接MO
因?yàn)镸O是△PAC的中位線，
所以MO∥PA
又因?yàn)镻A?面BDM，MO?面BDM
所以PA∥平面BDM
（2）因?yàn)镾_△ADC=，點(diǎn)M到面ADC的距離h₁=，所以V_M-ADC==．
因?yàn)椤鱌DC為等腰三角形，且M為PC的中點(diǎn)，所以DM⊥PC．
取PB的中點(diǎn)E，AD的中點(diǎn)N，連接ME，PN，NE，BN
因?yàn)樗倪呅蜠MEN為平行四邊形
所以DM∥NE
又因?yàn)椤鱌NB為等腰三角形，所以NE⊥PB
所以DM⊥PB．
因?yàn)镈M⊥PC，DM⊥PB且PC∩PB=P
所以DM⊥面PBC．
所以DM⊥BC．
因?yàn)锽C∥AD
所以AD⊥DM，因?yàn)镈M=
所以S_△ADM==
所以V_M-ADC=V_C-ADM=S_△ADM×h₂×
所以h₂=
所以sinθ=
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面所成的角，直線與平面平行的判定，其中（1）的關(guān)鍵是證得MO∥PA，（2）的關(guān)鍵是根據(jù)等體積法，求出C點(diǎn)到平面ADM的距離．