Question

對(duì)于數(shù)列{a_n}，若存在一個(gè)常數(shù)M，使得對(duì)任意的n∈N^*，都有|a_n|≤M，則稱{a_n}為有界數(shù)列．
（Ⅰ）判斷a_n=2+sinn是否為有界數(shù)列并說明理由．
（Ⅱ）是否存在正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}，使得{a_n}的前n項(xiàng)和S_n構(gòu)成的數(shù)列{S_n}是有界數(shù)列？若存在，求數(shù)列{a_n}的公比q的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（Ⅲ）判斷數(shù)列是否為有界數(shù)列，并證明．

Answer 1

解：（Ⅰ）1≤a_n=2+sinn≤3，
故{a_n}為有界數(shù)列…（2分）
（Ⅱ）設(shè)公比為q，當(dāng)0＜q＜1時(shí)，，
則正數(shù)數(shù)列{S_n}滿足，即為有界數(shù)列；
當(dāng)q=1時(shí)，S_n=na₁→+∞，故為無界數(shù)列；
當(dāng)q＞1時(shí)，S_n=a₁+a₂+…+a_n＞na₁→+∞，此時(shí)為無界數(shù)列．
綜上：當(dāng)且僅當(dāng)0＜q＜1時(shí)，{S_n}為有界數(shù)列…（6分）．
（Ⅲ）{a_n}為無界數(shù)列，事實(shí)上
∴
∴=
∴
故當(dāng)n無限增大時(shí)a_n也無限增大，
所以{a_n}無界…（12分）．
分析：（Ⅰ）求a_n=2+sinn的值域?yàn)?≤a_n=2+sinn≤3，根據(jù)有界數(shù)列的定義可以判斷；
（Ⅱ）對(duì)公比q進(jìn)行討論，當(dāng)0＜q＜1時(shí)，，易知正數(shù)數(shù)列{S_n}滿足，即為有界數(shù)列；當(dāng)q=1時(shí)，S_n=na₁→+∞，故為無界數(shù)列；當(dāng)q＞1時(shí)，S_n=a₁+a₂+…+a_n＞na₁→+∞，此時(shí)為無界數(shù)列，從而得結(jié)論．
（Ⅲ）{a_n}為無界數(shù)列，利用放縮法，轉(zhuǎn)換為利用等比數(shù)列求和可證．
點(diǎn)評(píng)：本題以數(shù)列為載體，考查新定義，關(guān)鍵是理解新定義，對(duì)等比數(shù)列應(yīng)注意求和公式的使用條件．