Question

13．定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足f（x）+f（x+1）=0，且在[-3，-2]上f（x）=2x+5，A、B是三邊不等的銳角三角形的兩內(nèi)角，則下列不等式正確的是（　�。�

• A． f（sinA）＞f（sinB）
• B． f（cosA）＞f（cosB）
• C． f（sinA）＞f（cosB）
• D． f（sinA）＜f（cosB）

Answer 1

分析 由題意可知：函數(shù)的周期為2，根據(jù)偶函數(shù)的對稱軸及單調(diào)性即可求得f（x）在[0，1]上為單調(diào)減函數(shù)，由A，B是銳角三角形的兩個內(nèi)角，求得A，B的取值范圍，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得答案．

解答 解：由f（x）+f（x+1）=0，
∴f（x+2）=f（x），
∴函數(shù)的周期為2，
∵f（x）在[-3，-2]上為增函數(shù)，
∴f（x）在[-1，0]上為增函數(shù)，
∵f（x）為偶函數(shù)，
∴f（x）在[0，1]上為單調(diào)減函數(shù)．
∵在銳角三角形中，π-A-B＜$\frac{π}{2}$，
∴A+B＞$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{2}$-B＜A，
∵A，B是銳角，
∴0＜$\frac{π}{2}$-B＜A＜$\frac{π}{2}$，
∴sinA＞sin（$\frac{π}{2}$-B）=cosB，
∴f（x）在[0，1]上為單調(diào)減函數(shù)．
∴f（sinA）＜f（cosB），
故選D．

點評 本題主要考查了函數(shù)的奇偶性和周期性的應(yīng)用，以及三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，綜合性較強，涉及的知識點較多，屬于中檔題．