Question

8．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=BC=2，AA₁=1，則點A到平面A₁BC的距離為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{4}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• C． $\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 先求出A₁-ABC的體積等于$\frac{\sqrt{3}}{3}$，再利用余弦定理求出cos∠BA₁C=$\frac{3}{5}$，從而sin∠BA₁C=$\frac{4}{5}$，從而得到${S}_{△B{A}_{1}C}=\frac{1}{2}×\sqrt{5}×\sqrt{5}×\frac{4}{5}$=2，設點A到平面A₁BC的距離為h，由${V}_{A-{A}_{1}BC}$=${V}_{{A}_{1}-ABC}$，能求出點A到平面A₁BC的距離．

解答 解∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=BC=2，AA₁=1，
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×2×2×sin60°$=$\sqrt{3}$，
${V}_{{A}_{1}-ABC}=\frac{1}{3}×{S}_{△ABC}×A{A}_{1}$=$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×1$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
${A}_{1}B={A}_{1}C=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$，
∴cos∠BA₁C=$\frac{5+5-4}{2×\sqrt{5}×\sqrt{5}}$=$\frac{3}{5}$，∴sin$∠B{A}_{1}C=\sqrt{1-（\frac{3}{5}）^{2}}$=$\frac{4}{5}$，
∴${S}_{△B{A}_{1}C}=\frac{1}{2}×\sqrt{5}×\sqrt{5}×\frac{4}{5}$=2，
設點A到平面A₁BC的距離為h，
則${V}_{A-{A}_{1}BC}$=${V}_{{A}_{1}-ABC}$=$\frac{1}{3}{S}_{△B{A}_{1}C}•h$=$\frac{2}{3}h=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
解得h=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故選：B．

點評 本題考查點到平面的距離的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意等體積法、余弦定理的合理運用．