Question

在正項(xiàng)數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₅=16．對(duì)任意的n∈N^*，函數(shù)f（x）=a_n+1²x-a_na_n+2（cosx+sinx）滿足f′（0）=0．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由題意知f′(x)=

a

2 n+1

-anan+2(-sinx+cosx)，由f'（0）=0，得

a

2 n+1

=anan+2，由此能求出an=2n-1(n∈N*)．
（Ⅱ）由na_n=n•2^n-1，利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答： （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）∵f（x）=a_n+1²x-a_na_n+2（cosx+sinx），
∴f′(x)=

a

2 n+1

-anan+2(-sinx+cosx)，
由f'（0）=0，得

a

2 n+1

=anan+2，又a_n＞0，
故數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，且公比q＞0．…..（3分）
由a₁=1，a₅=16，得q⁴=16，q=2，
∴通項(xiàng)公式為an=2n-1(n∈N*)．…..（6分）
（Ⅱ）∵na_n=n•2^n-1，
∴Sn=1+2×2+3×22+…+n•2n-1，①
2Sn=2+2×22+3×23+…+(n-1)•2n-1+n•2n，②
①-②得，-Sn=1+2+22+…+2n-1-n•2n
=

1-2n

1-2

-n•2n
=2ⁿ-1-n•2ⁿ
∴Sn=(n-1)•2n+1．…．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．