Question

已知函數(shù)f（x）=2sin（

π

4

+x）cos（

π

4

-x）-1
（1）求函數(shù)f（x）的周期；
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）-2

3

cos²x，試求函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）若f²（x）-cos2x≥m²-m-7恒成立，試求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）將函數(shù)f（x）進(jìn)行化簡(jiǎn)，利用三角函數(shù)的周期公式即可求函數(shù)f（x）的周期；
（2）求出函數(shù)g（x）=f（x）-2

3

cos²x的表達(dá)式，即可求出函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）求出f²（x）-cos2x的最小值，利用參數(shù)分離法，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（1）因?yàn)?span id="4kuueqq" class="MathJye">f(x)=2sin(

π

4

+x)sin(

π

4

+x)-1
=2sin2(

π

4

+x)-1=-cos(

π

2

+2x)=sin2x
所以f（x）的周期T=

2π

2

=π．…（2分）
（2）由（1），知g(x)=f(x)-2

3

cos2x=sin2x-

3

cos2x-

3

=2sin(2x-

π

3

)-

3

…（2分）
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，得2kπ-

π

6

≤2x≤2kπ+

5π

6

，
從而kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

，
所以函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]，k∈Z．…（2分）
（3）因?yàn)閒²（x）-cos2x=sin²2x-cos2x=-cos²2x-cos2x+1
=-(cos2x+

1

2

)2+

5

4

…（1分）
所以，當(dāng)cos2x=1時(shí)，（f²（x）-cos2x）_min=-1．…（1分）
f²（x）-cos2x≥m²-m-7恒成立，
等價(jià)于m²-m-7≤（f²（x）-cos2x）_min
所以，m²-m-7≤-1，即m²-m-6≤0，解得-2≤m≤3．
所以，實(shí)數(shù)m的取值范圍為[-2，3]．…（2分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用三角函數(shù)的關(guān)系式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．