已知函數(shù)數(shù)學(xué)公式,動直線l的斜率k=2.
(1)若存在直線l與f(x)的圖象相切,求a的取值范圍;
(2)若恰好有一條直線l與f(x)的圖象相切,求直線l的方程;
(3)若動直線l與f(x)的圖象相切點(diǎn)A(x1,y1),且x1∈[-2,2],求a的取值范圍.

解:由題意得f'(x)=x2+2x+3a.
(1)若存在直線l與f(x)的圖象相切,設(shè)l的斜率為k,
則x2+2x+3a=2,3a=2-x2-2x≤3?a≤1,
∴a的取值范圍(-∞,1];
(2)若恰好有一條直線l與f(x)的圖象相切,
設(shè)切點(diǎn)M(x,y),則x2+2x+3a=2有惟一解,?△=0?a=1,
且x=-1,切點(diǎn)M(-1,-),
∴直線l的方程為:y+=2(x+1),即:2x+y+=0;
(3)若動直線l與f(x)的圖象相切點(diǎn)A(x1,y1),
則x12+2x1+3a=2且x1∈[-2,2],
3a=2-x12-2x1∈[-6,3],?a∈[-2,1]
故a的取值范圍[-2,1].
分析:(1)求得f'(x)=x2+2x+3a.根據(jù)已知條件可得f′(x)=2,利用二次函數(shù)的性質(zhì)可以得出a的取值范圍;
(2)若恰好有一條直線l與f(x)的圖象相切,設(shè)切點(diǎn)M(x,y),則x2+2x+3a=2有惟一解,結(jié)合根的判別式求出x及切點(diǎn),最后寫出直線l的方程;
(3)若動直線l與f(x)的圖象相切點(diǎn)A(x1,y1),則x12+2x1+3a=2且x1∈[-2,2],3a=2-x12-2x1∈[-6,3],求出函數(shù)2-x12-2x1在區(qū)間[-2,2]上的值域,實(shí)數(shù)3a也應(yīng)在這個(gè)值域中,因此可以得到實(shí)數(shù)a的取值范圍.
點(diǎn)評:本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程等基礎(chǔ)知識,考查運(yùn)算求解能力與轉(zhuǎn)化思想.屬于基礎(chǔ)題.
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已知函數(shù)f(x)=
x33
+x2+3ax+1
,動直線l的斜率k=2.
(1)若存在直線l與f(x)的圖象相切,求a的取值范圍;
(2)若恰好有一條直線l與f(x)的圖象相切,求直線l的方程;
(3)若動直線l與f(x)的圖象相切點(diǎn)A(x1,y1),且x1∈[-2,2],求a的取值范圍.

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下列四個(gè)命題:

①若m∈(0,1],則函數(shù)的最小值為;

②已知平面α,β,直線l,m,若l⊥α,mβ,α⊥β,則l∥m;

③△ABC中的夾角等于180°-A;

④若動點(diǎn)P到點(diǎn)F(1,0)的距離比到直線l:x=-2的距離小1,則動點(diǎn)P的軌跡方程為y2=4x.

其中正確命題的序號為________.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=
x3
3
+x2+3ax+1
,動直線l的斜率k=2.
(1)若存在直線l與f(x)的圖象相切,求a的取值范圍;
(2)若恰好有一條直線l與f(x)的圖象相切,求直線l的方程;
(3)若動直線l與f(x)的圖象相切點(diǎn)A(x1,y1),且x1∈[-2,2],求a的取值范圍.

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已知函數(shù),動直線l的斜率k=2.
(1)若存在直線l與f(x)的圖象相切,求a的取值范圍;
(2)若恰好有一條直線l與f(x)的圖象相切,求直線l的方程;
(3)若動直線l與f(x)的圖象相切點(diǎn)A(x1,y1),且x1∈[-2,2],求a的取值范圍.

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