Question

已知動點P到直線l：x=--

4 3

3

的距離d₁，是到定點F（-

3

，0）的距離d₂的

2 3

3

倍．
（1） 求動點P的軌跡方程；
（2） 若直線m：y=k（x+1）（k≠o）與點P的軌跡有兩個交點A、B，求弦AB的中垂線n在y軸上的截距y₀的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設P（x，y），則d1=|x+

4 3

3

| ，d2=

(x+ 3 )2+y2

，由題設知|x+

4 3

3

| =

2 3

3

(x+ 3 )2+y2

，由此能求出動點P的軌跡方程．
（2）將y=k（x+1）（k≠0）代入

x2

4

+y2=1，消去y，得（1+4k²）x²+8k²x+4k²-4=0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=-

8k2

1+4k2

，x1x2=

4k2-4

1+4k2

，y1+y2=k(x1+x2+2)=

2k

1+4k2

，弦AB的中點為(-

4k2

1+4k2

，

k

1+4k2

)，中垂線n的方程為y-

k

1+4k2

=-

1

k

(x+

4k2

1+4k2

)，由此能求出y₀的取值范圍．

解答：解：（1）設P（x，y），則d1=|x+

4 3

3

| ，d2=

(x+ 3 )2+y2

，
由題設知|x+

4 3

3

| =

2 3

3

(x+ 3 )2+y2

，
平方整理可得

x2

4

+y2=1．
（2）將y=k（x+1）（k≠0）代入

x2

4

+y2=1，
消去y，得（1+4k²）x²+8k²x+4k²-4=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=-

8k2

1+4k2

，x1x2=

4k2-4

1+4k2

，
y1+y2=k(x1+x2+2)=

2k

1+4k2

，
弦AB的中點為(-

4k2

1+4k2

，

k

1+4k2

)，中垂線n的方程為y-

k

1+4k2

=-

1

k

(x+

4k2

1+4k2

)，
令x=0，可得y0=-

3k

1+4k2

，
∵k≠0，

3k

1+4k2

=-

3

1 k +4k

，

1

k

+4k≥4或

1

k

+4k≤-4，
∴-

3

4

≤-

3k

1+4k2

≤

3

4

，且-

3k

1+4k2

≠0，
即y₀的取值范圍是[-

3

4

，0)∪(0，

3

4

]．

點評：本題考查直線 和橢圓的位置關系，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件．