已知向量
α
=（
3
cosx+
3
sinx，cosx），
β
=（cosx-sinx，2sinx），f（x）=
α
•
β
．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及單調增區(qū)間；
（Ⅱ）a，b，c分別△ABC的三內角A，B，C的對應邊，且f（A）=-
3
，b=2c，a=2
5
，求S△ABC．
分析：（1）利用兩角和差的正弦公式化簡f（x）的解析式為2sin（2A+
π
3
），由此求得最小正周期．由
2kπ-
π
2
≤2x+
π
3
≤2kπ+
π
2
(k∈Z) 
，求得f（x）單調區(qū)間．
（2）由f（A）=-
3
 解得sin（2A+
π
3
）=-
3
2
．再由A的范圍可得2A+
π
3
=
4π
3
 或2A+
π
3
=
5π
3
，從而求出A的值，
再由余弦定理求出c的值，代入S△ABC=
1
2
bc•sinA運算求得結果．
解答：解：（1）f（x）=
α
•
β
=（
3
cosx+
3
sinx）（cosx-sinx）+cosx2sinx
=
3
(cos2x-sin2x)+2sinxcosx=sin2x+
3
cos2x=2sin(2x+
π
3
)
，
故最小正周期T=
2π
2
=π．
令
2kπ-
π
2
≤2x+
π
3
≤2kπ+
π
2
(k∈Z) 
，解得
kπ-
5π
12
≤x≤kπ+
π
12
，k∈Z．
故f（x）單調區(qū)間為[kπ-
5π
12
，kπ+
π
12
]（k∈Z）．
（2）由f（A）=-
3
，可得 2sin（2A+
π
3
）=-
3
，sin（2A+
π
3
）=-
3
2
．
由于 0＜A＜π，∴
π
3
＜2A+
π
3
＜
7π
3
，∴2A+
π
3
=
4π
3
 或2A+
π
3
=
5π
3
．
解得 A=
π
2
 或A=
2π
3
．
當 A=
π
2
 時，由勾股定理可得 20=b2+c2=5c2，∴c=2，故S△ABC=
1
2
×2×4=4．
當 A=
2π
3
 時，由余弦定理可得 20=b2+c2-2bc•cos
2π
3
=7c2，
故 S△ABC=
1
2
bc•sin
2π
3
=
3
2
c2=
10
3
7
．
點評：本題主要考查兩角和差的正弦公式，正弦函數(shù)的周期性和單調性，余弦定理的應用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(
3
cosx-
3
，sinx)，
b
=(1+cosx，cosx)，設f(x)=
a
•
b
．
（1）求f(
25π
6
)的值；
（2）當x∈[-
π
3
，
π
6
]時，求函數(shù)f（x）的值域．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
m
=(2，-
3
cosx)，
n
=(cos2x，2sinx)，函數(shù)f(x)=
m
•
n
-1．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調遞增區(qū)間；
（2）求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-
π
3
，
π
6
]上的值域．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(
3
cosx-
3
，sinx)，
b
=(1+cosx，cosx)，設f(x)=
a
•
b
．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）當x∈[-
π
3
，
π
6
]時，求函數(shù)f（x）的值域；
（3）求f（x）在區(qū)間[0，π]上的單調遞增區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知向量
a
=(
3
cosx-
3
，sinx)，
b
=(1+cosx，cosx)，設f(x)=
a
•
b
．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）當x∈[-
π
3
，
π
6
]時，求函數(shù)f（x）的值域；
（3）求f（x）在區(qū)間[0，π]上的單調遞增區(qū)間．

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