Question

知橢圓的離心率為，定點(diǎn)，橢圓短軸的端點(diǎn)是，且.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)過點(diǎn)且斜率不為0的直線交橢圓于兩點(diǎn).試問軸上是否存在異于的定點(diǎn)，使平分？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）存在，.

【解析】

試題分析：（1）由離心率為可得到一個(gè)關(guān)于的方程，再根據(jù)MB₁⊥MB₂即可得；（2）本題采用“設(shè)而不求”的方法，將A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)出，但不求出.注意到平分，則直線的傾斜角互補(bǔ)這個(gè)性質(zhì),從而由斜率著手，以韋達(dá)定理為輔助工具，得出點(diǎn)P的坐標(biāo).

試題解析：（1）由得

又,知是等腰直角三角形，從而.

所以橢圓C的方程是.                                   5分

（2）設(shè)，直線AB的方程為

由得，

所以 ①，②                        8分

若平分，則直線的傾斜角互補(bǔ)，

所以

設(shè)，則有，                                  10分

將代入上式，整理得，

將①②代入得，由于上式對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立，所以.

綜上，存在定點(diǎn)，使平分PM平分∠APB.                        13分

考點(diǎn)：1.橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)；2.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系；3.斜率公式.