Question

設S_n是公差不為0的等差數列a_n的前n項和，且S₁，S₂，S₄成等比數列．（1）求的值；（2）若a₅=9，求a_n及S_n，的表達式．

Answer 1

解：（1）設數列{a_n}的公差為d，由題意，得S₂²=S₁•S₄
所以（2a₁+d）²=a₁（4a₁+6d）
因為d≠0
所以d=2a₁，故=3；
（2）因為a₅=9，d=2a₁，a₅=a₁+8a₁=9a₁，
所以a₁=1，d=2
因此a_n=a₁+（n-1）d=2n-1，S_n=n²
分析：（1）由若S_n是公差不為0的等差數列{a_n}的前n項和，且S₁，S₂，S₃成等比數列．根據等差數列的前n項和公式，我們易求出基本量（即首項與公差）之間的關系．將基本量代入易得的值；（2）由a₅=9，構造方程，解方程即可求出基本量（即首項與公差）的值，然后根據等差數列通項公式的概念，不難得到答案．
點評：解答特殊數列（等差數列與等比數列）的問題時，根據已知條件構造關于基本量的方程，解方程求出基本量，再根據定義確定數列的通項公式及前n項和公式，然后代入進行運算．屬中檔題．