已知橢圓C1
y2
a2
+
x2
b2
=1(a>b>0)的右頂點(diǎn)為P(1,0),過C1的焦點(diǎn)且垂直長軸的弦長為1.
(Ⅰ)求橢圓C1的方程;
(Ⅱ)設(shè)拋物線C2:y=x2+h(h∈R)的焦點(diǎn)為F,過F點(diǎn)的直線l交拋物線與A、B兩點(diǎn),過A、B兩點(diǎn)分別作拋物線C2的切線交于Q點(diǎn),且Q點(diǎn)在橢圓C1上,求△ABQ面積的最值,并求出取得最值時(shí)的拋物線C2的方程.
(I)由題意得
b=1
2•
b2
a
=1
,解得
a=2
b=1
,
∴所求的橢圓方程為
y2
4
+x2=1
;
(II)令A(x1,x12+h),B(x2,x22+h)
設(shè)切線AQ方程為y-(x12+h)=k(x-x1),代入y=x2+h,得:x2-kx+kx1-x12=0
令△=0,可得k=2x1
∴拋物線C2在點(diǎn)A處的切線斜率為k=2x1
∴切線AQ方程為:y-(x12+h)=2x1(x-x1),即y=2x1x-x12+h
同理可得BQ方程為:y=2x2x-x22+h
聯(lián)立①②解得Q點(diǎn)為(
x1+x2
2
,x1x2+h)

焦點(diǎn)F坐標(biāo)為(0,h+
1
4
),令l方程為:y=kx+h+
1
4
,代入C2:y=x2+h,
得:x2-kx-
1
4
=0
,由韋達(dá)定理有:x1+x2=k,x1x2=-
1
4

∴Q點(diǎn)為(
k
2
,h-
1
4
)

過Q作y軸平行線交AB于M點(diǎn),則S△ABQ=
1
2
|QM||x1-x2|

M點(diǎn)為(
k
2
,
k2
2
+h+
1
4
)
,
|QM|=
k2+1
2
,|x1-x2|=
(x1+x2)2-4x1x2
=
k2+1

S△ABQ=
1
2
|QM||x1-x2|=
1
4
(
k2+1
)3

而Q點(diǎn)在橢圓上,∴
(h-
1
4
)2
4
+(
k
2
)2=1
,∴k2=4-(h-
1
4
)2∈[0,4]

(S△ABQ)min=
1
4
,此時(shí)k=0,h=
9
4
或-
7
4
,
則拋物線方程為:y=x2+
9
4
y=x2-
7
4

(S△ABQ)max=
5
5
4
,此時(shí)k2=4,h=
1
4

則拋物線方程為:y=x2+
1
4
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

橢圓C1
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左右頂點(diǎn)分別為A、B.點(diǎn)P雙曲線C2
x2
a2
-
y2
b2
=1在第一象限內(nèi)的圖象上一點(diǎn),直線AP、BP與橢圓C1分別交于C、D點(diǎn).若△ACD與△PCD的面積相等.
(1)求P點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)能否使直線CD過橢圓C1的右焦點(diǎn),若能,求出此時(shí)雙曲線C2的離心率,若不能,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

設(shè)x,y∈R,
i
j
為直角坐標(biāo)平面內(nèi)x軸y軸正方向上的單位向量,若
a
=x
i
+(y+2)
j
,
b
=x
i
+(y-2)
j
,且|
a
|+|
b
|=8
(Ⅰ)求動(dòng)點(diǎn)M(x,y)的軌跡C的方程;
(Ⅱ)設(shè)曲線C上兩點(diǎn)AB,滿足(1)直線AB過點(diǎn)(0,3),(2)若
OP
=
OA
+
OB
,則OAPB為矩形,試求AB方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,拋物線C1:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F,橢圓C2
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的離心率e=
3
2
,C1與C2在第一象限的交點(diǎn)為P(
3
1
2

(1)求拋物線C1及橢圓C2的方程;
(2)已知直線l:y=kx+t(k≠0,t>0)與橢圓C2交于不同兩點(diǎn)A、B,點(diǎn)M滿足
AM
+
BM
=
0
,直線FM的斜率為k1,試證明k•k1
-1
4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓心在第二象限,半徑為2
2
的圓C與直線y=x相切于坐標(biāo)原點(diǎn)O.橢圓
x2
a2
+
y2
9
=1與圓C的一個(gè)交點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為10.
(1)求圓C的方程;
(2)試探求C上是否存在異于原點(diǎn)的點(diǎn)Q,使Q到橢圓右焦點(diǎn)F的距離等于線段OF的長.若存在,請求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

已知兩條拋物線y1=x2+2mx+4,y2=x2+mx-m中至少有一條與x軸有公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知橢C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的離心率為
1
2
,橢圓的短軸端點(diǎn)與雙曲線
y2
2
-x2
=1的焦點(diǎn)重合,過P(4,0)且不垂直于x軸直線l與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn).
(Ⅰ)求橢C的方程;
(Ⅱ)求
OA
OB
的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線W的頂點(diǎn)在原點(diǎn),其焦點(diǎn)F在x軸的正半軸上,過點(diǎn)F作x軸的垂線與W交于A、B兩點(diǎn),且點(diǎn)A在第一象限,|AB|=8,過點(diǎn)B作直線BC與x軸交于點(diǎn)T(t,0)(t>2),與拋物線交于點(diǎn)C.
(1)求拋物線W的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若t=6,曲線G:x2+y2-2ax-4y+a2=0與直線BC有公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)若|OB|2+|OC|2≤|BC|2,求△ABC的面積的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知橢圓C:3x2+y2=12,直線x-y-2=0交橢圓C于A,B兩點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓C的焦點(diǎn)坐標(biāo)及長軸長;
(Ⅱ)求以線段AB為直徑的圓的方程.

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同步練習(xí)冊答案