Question

已知函數(shù)f（x）=x²-4x+a+3，g（x）=mx+5-2m
（1）當a=-3，m=0時，求方程f（x）-g（x）=0的解；
（2）若方程f（x）=0在[-1，1]上有實數(shù)根，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）當a=0時，若對任意的x₁∈[1，4]，總存在x₂∈[1，4]，使f（x₁）=g（x₂）成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)的零點

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）直接把a=-3，m=0代入方程，求解一元二次方程得答案；
（2）求出函數(shù)f（x）的對稱軸，得到f（x）在區(qū)間[-1，1]上是減函數(shù)，由函數(shù)在區(qū)間[-1，1]上存在零點得不等式組

f(1)≤0 f(-1)≤0

，求解不等式組得實數(shù)a的取值范圍；
（3）把對任意的x₁∈[1，4]，總存在x₂∈[1，4]，使f（x₁）=g（x₂）成立轉化為函數(shù)y=f（x）的值域為函數(shù)y=g（x）的值域的子集，然后求g（x）的值域得答案．

解答： 解：（1）當a=-3，m=0時，求方程f（x）-g（x）=0化為x²-4x-5=0，
解得：x=-1或x=5；
（2）∵函數(shù)f（x）=x²-4x+a+3的對稱軸是x=2，
∴f（x）在區(qū)間[-1，1]上是減函數(shù)，
∵函數(shù)在區(qū)間[-1，1]上存在零點，則必有：

f(1)≤0 f(-1)≤0

，即

a≤0 a+8≥0

，解得-8≤a≤0．
故所求實數(shù)a的取值范圍為[-8，0]；
（3）若對任意的x₁∈[1，4]，總存在x₂∈[1，4]，使f（x₁）=g（x₂）成立，
只需函數(shù)y=f（x）的值域為函數(shù)y=g（x）的值域的子集．
f（x）=x²-4x+3，x∈[1，4]的值域為[-1，3]，
下面求g（x）=mx+5-2m的值域．
①當m=0時，g（x）=5-2m為常數(shù)，不符合題意舍去；
②當m＞0時，g（x）的值域為[5-m，5+2m]，要使[-1，3]⊆[5-m，5+2m]，
需

5-m≤-1 5+2m≥3

，解得m≥6；
③當m＜0時，g（x）的值域為[5+2m，5-m]，要使[-1，3]⊆[5+2m，5-m]，
需

5+2m≤-1 5-m≥3

，解得m≤-3．
綜上，m的取值范圍為（-∞，-3]∪[6，+∞）．

點評：本題考查了函數(shù)的零點，考查了函數(shù)恒成立問題，訓練了數(shù)學轉化思想方法及分類討論的數(shù)學思想方法，是中檔題．