Question

8．P為△ABC所在平面外一點，PO⊥面ABC于O．證明：
（1）若PA=PB=PC，則O為△ABC的外心；
（2）若PA⊥BC，PC⊥AB，則PB⊥AC，且O為△ABC的垂心；
（3）若PA，PB，PC兩兩垂直，則O為△ABC的垂心；
（4）若P到△ABC各邊的距離相等（且O在三角形的內(nèi)部），則O為△ABC的內(nèi)心．

Answer 1

分析 （1）由PA=PB=PC，利用射影定理得OA=OB=OC，由此能證明O為△ABC的外心．
（2）由知推導(dǎo)出BC⊥平面PAC，從而OA⊥BC，同理OB⊥AC，由此能證明O是△ABC的垂心，從而得到PB⊥AC．
（3）連接AO，BO，CO，由已知推導(dǎo)出PA⊥平面PBC，從而PA⊥BC，進而得到BC⊥AO同理，BO⊥AC，CO⊥AB，由此能證明O為△ABC的垂心．
（4）由射影定理得O到△ABC三邊距離相等，由此能證明O是△ABC的內(nèi)心．

解答 證明：（1）∵P為△ABC所在平面外一點，PO⊥面ABC于O，
PA=PB=PC，
∴由射影定理得OA=OB=OC，
∴O為△ABC的外心．
（2）∵P為△ABC所在平面外一點，PO⊥面ABC于O，
PA⊥BC，PC⊥AB，
∴PO⊥BC，PA⊥BC，
∵PO∩PA=P，∴BC⊥平面PAC，∴OA⊥BC，
同理OB⊥AC，
∴O是△ABC的垂心，
∴OC⊥AB，又PO⊥AB，OC∩PO=O，
∴AB⊥平面PAC，∴PB⊥AC，
∴PB⊥AC，且O為△ABC的垂心．
（3）P為△ABC所在平面外一點，PO⊥面ABC于O，
PA，PB，PC兩兩垂直，
連接AO，BO，CO
∵PA⊥PB，PA⊥PC，∴PA⊥平面PBC，∴PA⊥BC，
∵PO⊥平面ABC，∴PO⊥BC，PO∩PA=P，
∴BC⊥平面PAO，∴BC⊥AO
同理，BO⊥AC，CO⊥AB，
∴O為△ABC的垂心．
（4）∵P為△ABC所在平面外一點，PO⊥面ABC于O，
P到△ABC三邊距離相等，且O在△ABC的內(nèi)部，
∴由射影定理得O到△ABC三邊距離相等，
∴O是△ABC的內(nèi)心．

點評 本題考查三角形五心的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．