【題目】如圖,四棱錐中,側(cè)面
是邊長為2的等邊三角形且垂直于底面
,
,
,
是
的中點(diǎn).
(1)求證:直線平面
;
(2)點(diǎn)在棱
上,且二面角
的余弦值為
,求直線
與底面
所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析;(2)
【解析】
(1)取中點(diǎn)
,連結(jié)
,
,根據(jù)三角形中位線的性質(zhì),得出
,
,結(jié)合條件,可證出四邊形
為平行四邊形,得出
,最后根據(jù)線面平行的判定定理,即可證明直線
平面
;
(2)建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),則可得
,由圖可知底面
法向量,根據(jù)空間向量法求出平面
的法向量,利用已知的二面角余弦值,求出
,得出點(diǎn)
坐標(biāo),再利用空間向量求線面角的公式,求出直線
與底面
所成角的正弦值.
解:證明:(1)取中點(diǎn)
,連結(jié)
,
,
因?yàn)?/span>為
的中點(diǎn),所以
,
,
由,得
,
又,所以
,
//
,
則四邊形為平行四邊形,有
,
又平面
,
平面
,故
平面
.
(2)
由已知得,以
為坐標(biāo)原點(diǎn),
的方向?yàn)?/span>
軸正方向,
為單位長,
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則,
,
,
,
,
,
設(shè),則可得
,
設(shè)平面的一個(gè)法向量為
,
則,即
,
取,則
,
又易知底面的一個(gè)法向量為
,
由于二面角的余弦值為
,
∴,
∴,解得
或
(舍去),
∴,∴
,
則,
∴直線與底面
所成角的正弦值為
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了研究一種昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)和溫度
是否有關(guān),現(xiàn)收集了7組觀測數(shù)據(jù)列于下表中,并作出了如圖的散點(diǎn)圖.
溫度 | 20 | 22 | 24 | 26 | 28 | 30 | 32 |
產(chǎn)卵數(shù) | 6 | 10 | 22 | 26 | 64 | 118 | 310 |
26 | 79.4 | 3.58 | 112 | 11.6 | 2340 | 35.72 |
其中.
(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷,與
哪一個(gè)更適宜作為該昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)
與溫度
的回歸方程類型?(給出判斷即可,不必說明理由).
(2)根據(jù)表中數(shù)據(jù),建立關(guān)于
的回歸方程;(保留兩位有效數(shù)字)
(3)根據(jù)關(guān)于
的回歸方程,估計(jì)溫度為33℃時(shí)的產(chǎn)卵數(shù).
(參考數(shù)據(jù):)
附:對于一組數(shù)據(jù),其回歸直線
的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】近期,西安公交公司分別推出支付寶和微信掃碼支付乘車活動(dòng),活動(dòng)設(shè)置了一段時(shí)間的推廣期,由于推廣期內(nèi)優(yōu)惠力度較大,吸引越來越多的人開始使用掃碼支付.某線路公交車隊(duì)統(tǒng)計(jì)了活動(dòng)剛推出一周內(nèi)每一天使用掃碼支付的人次,表示活動(dòng)推出的天數(shù),
表示每天使用掃碼支付的人次(單位:十人次),統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表下所示:
根據(jù)以上數(shù)據(jù),繪制了散點(diǎn)圖.
(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷,在推廣期內(nèi),與
(
均為大于零的常數(shù)),哪一個(gè)適宜作為掃碼支付的人次
關(guān)于活動(dòng)推出天數(shù)
的回歸方程類型?(給出判斷即可,不必說明理由);
(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表1中的數(shù)據(jù),建立與
的回歸方程,并預(yù)測活動(dòng)推出第8天使用掃碼支付的人次;
(3)推廣期結(jié)束后,車隊(duì)對乘客的支付方式進(jìn)行統(tǒng)計(jì),結(jié)果如下表:
西安公交六公司車隊(duì)為緩解周邊居民出行壓力,以萬元的單價(jià)購進(jìn)了一批新車,根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)可知,每輛車每個(gè)月的運(yùn)營成本約為
萬元.已知該線路公交車票價(jià)為
元,使用現(xiàn)金支付的乘客無優(yōu)惠,使用乘車卡支付的乘客享受
折優(yōu)惠,掃碼支付的乘客隨機(jī)優(yōu)惠,根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果得知,使用掃碼支付的乘客中有
的概率享受
折優(yōu)惠,有
的概率享受
折優(yōu)惠,有
的概率享受
折優(yōu)惠.預(yù)計(jì)該車隊(duì)每輛車每個(gè)月有
萬人次乘車,根據(jù)所給數(shù)據(jù)以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率,在不考慮其它因素的條件下,按照上述收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn),假設(shè)這批車需要
(
)年才能開始盈利,求
的值.
參考數(shù)據(jù):
其中其中,
,
參考公式:對于一組數(shù)據(jù),
,
,
,其回歸直線
的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為:
,
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù).
(1)若函數(shù)在區(qū)間
(
為自然對數(shù)的底數(shù))上有唯一的零點(diǎn),求實(shí)數(shù)
的取值范圍;
(2)若在(
為自然對數(shù)的底數(shù))上存在一點(diǎn)
,使得
成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線與橢圓
交于不同的兩點(diǎn)
,
.
(1)若線段的中點(diǎn)為
,求直線
的方程;
(2)若的斜率為
,且
過橢圓
的左焦點(diǎn)
,
的垂直平分線與
軸交于點(diǎn)
,求證:
為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】自新型冠狀病毒疫情爆發(fā)以來,人們時(shí)刻關(guān)注疫情,特別是治愈率,治愈率累計(jì)治愈人數(shù)/累計(jì)確診人數(shù),治愈率的高低是“戰(zhàn)役”的重要數(shù)據(jù),由于確診和治愈人數(shù)在不斷變化,那么人們就非常關(guān)心第
天的治愈率,以此與之前的治愈率比較,來推斷在這次“戰(zhàn)役”中是否有了更加有效的手段,下面是一段計(jì)算治愈率的程序框圖,請同學(xué)們選出正確的選項(xiàng),分別填入①②兩處,完成程序框圖.( )
:第
天新增確診人數(shù);
:第
天新增治愈人數(shù);
:第
天治愈率
A.,
B.
,
C.,
D.
,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,三棱柱中,
側(cè)面
,已知
,
,
,點(diǎn)
是棱
的中點(diǎn).
(1)求證:平面
;
(2)求二面角的余弦值;
(3)在棱上是否存在一點(diǎn)
,使得
與平面
所成角的正弦值為
,若存在,求出
的值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小姜同學(xué)有兩個(gè)盒子和
,最初盒子
有6枚硬幣,盒子
是空的.在每一回合中,她可以將一枚硬幣從
盒移到
盒,或者從
盒移走
枚硬幣,其中
是
盒中當(dāng)前的硬幣數(shù).當(dāng)
盒空時(shí)她獲勝.則小姜可以獲勝的最少回合是( )
A.三回合B.四回合C.五回合D.六回合
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】據(jù)國家統(tǒng)計(jì)局發(fā)布的數(shù)據(jù),2019年11月全國CPI(居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)),同比上漲4.5%,CPI上漲的主要因素是豬肉價(jià)格的上漲,豬肉加上其他畜肉影響CPI上漲3.27個(gè)百分點(diǎn).下圖是2019年11月CPI一籃子商品權(quán)重,根據(jù)該圖,下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( )
A.CPI一籃子商品中所占權(quán)重最大的是居住
B.CPI一籃子商品中吃穿住所占權(quán)重超過50%
C.豬肉在CPI一籃子商品中所占權(quán)重約為2.5%
D.豬肉與其他畜肉在CPI一籃子商品中所占權(quán)重約為0.18%
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