【題目】如圖，四棱錐中，側面是邊長為2的等邊三角形且垂直于底面，，，是的中點.

（1）求證：直線平面；

（2）點在棱上，且二面角的余弦值為，求直線與底面所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）取中點，連結，，根據(jù)三角形中位線的性質，得出，，結合條件，可證出四邊形為平行四邊形，得出，最后根據(jù)線面平行的判定定理，即可證明直線平面；

（2）建立空間直角坐標系，設，則可得，由圖可知底面法向量，根據(jù)空間向量法求出平面的法向量，利用已知的二面角余弦值，求出，得出點坐標，再利用空間向量求線面角的公式，求出直線與底面所成角的正弦值.

解：證明：（1）取中點，連結，，

因為為的中點，所以，，

由，得，

又，所以,//，

則四邊形為平行四邊形，有，

又平面，平面，故平面.

（2）

由已知得，以為坐標原點，的方向為軸正方向，為單位長，

建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，，

，，

設，則可得，

設平面的一個法向量為，

則，即，

取，則，

又易知底面的一個法向量為，

由于二面角的余弦值為，

∴，

∴，解得或（舍去），

∴，∴，

則，

∴直線與底面所成角的正弦值為.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】為了研究一種昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)和溫度是否有關，現(xiàn)收集了7組觀測數(shù)據(jù)列于下表中，并作出了如圖的散點圖．

溫度/℃

20

22

24

26

28

30

32

產(chǎn)卵數(shù)/個

6

10

22

26

64

118

310

26

79．4

3．58

112

11．6

2340

35．72

其中．

（1）根據(jù)散點圖判斷，與哪一個更適宜作為該昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)與溫度的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）．

（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，建立關于的回歸方程；（保留兩位有效數(shù)字）

（3）根據(jù)關于的回歸方程，估計溫度為33℃時的產(chǎn)卵數(shù)．

（參考數(shù)據(jù)：）

附：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】近期，西安公交公司分別推出支付寶和微信掃碼支付乘車活動，活動設置了一段時間的推廣期，由于推廣期內優(yōu)惠力度較大，吸引越來越多的人開始使用掃碼支付.某線路公交車隊統(tǒng)計了活動剛推出一周內每一天使用掃碼支付的人次，表示活動推出的天數(shù)，表示每天使用掃碼支付的人次（單位：十人次），統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表下所示：

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，繪制了散點圖.

（1）根據(jù)散點圖判斷，在推廣期內，與（均為大于零的常數(shù)），哪一個適宜作為掃碼支付的人次關于活動推出天數(shù)的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）；

（2）根據(jù)（1）的判斷結果及表1中的數(shù)據(jù)，建立與的回歸方程，并預測活動推出第8天使用掃碼支付的人次；

（3）推廣期結束后，車隊對乘客的支付方式進行統(tǒng)計，結果如下表：

西安公交六公司車隊為緩解周邊居民出行壓力，以萬元的單價購進了一批新車，根據(jù)以往的經(jīng)驗可知，每輛車每個月的運營成本約為萬元.已知該線路公交車票價為元，使用現(xiàn)金支付的乘客無優(yōu)惠，使用乘車卡支付的乘客享受折優(yōu)惠，掃碼支付的乘客隨機優(yōu)惠，根據(jù)統(tǒng)計結果得知，使用掃碼支付的乘客中有的概率享受折優(yōu)惠，有的概率享受折優(yōu)惠，有的概率享受折優(yōu)惠.預計該車隊每輛車每個月有萬人次乘車，根據(jù)所給數(shù)據(jù)以事件發(fā)生的頻率作為相應事件發(fā)生的概率，在不考慮其它因素的條件下，按照上述收費標準，假設這批車需要（）年才能開始盈利，求的值.

參考數(shù)據(jù)：

其中其中，，

參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，，，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設函數(shù).

（1）若函數(shù)在區(qū)間（為自然對數(shù)的底數(shù)）上有唯一的零點，求實數(shù)的取值范圍；

（2）若在（為自然對數(shù)的底數(shù)）上存在一點，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知直線與橢圓交于不同的兩點，.

（1）若線段的中點為，求直線的方程；

（2）若的斜率為，且過橢圓的左焦點，的垂直平分線與軸交于點，求證：為定值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】自新型冠狀病毒疫情爆發(fā)以來，人們時刻關注疫情，特別是治愈率，治愈率累計治愈人數(shù)／累計確診人數(shù)，治愈率的高低是“戰(zhàn)役”的重要數(shù)據(jù)，由于確診和治愈人數(shù)在不斷變化，那么人們就非常關心第天的治愈率，以此與之前的治愈率比較，來推斷在這次“戰(zhàn)役”中是否有了更加有效的手段，下面是一段計算治愈率的程序框圖，請同學們選出正確的選項，分別填入①②兩處，完成程序框圖.（ ）

：第天新增確診人數(shù)；：第天新增治愈人數(shù)；：第天治愈率

A.，B.，

C.，D.，

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，三棱柱中，側面，已知，，，點是棱的中點.

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值；

（3）在棱上是否存在一點，使得與平面所成角的正弦值為，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】小姜同學有兩個盒子和，最初盒子有6枚硬幣，盒子是空的.在每一回合中，她可以將一枚硬幣從盒移到盒，或者從盒移走枚硬幣，其中是盒中當前的硬幣數(shù).當盒空時她獲勝.則小姜可以獲勝的最少回合是( )

A.三回合B.四回合C.五回合D.六回合

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】據(jù)國家統(tǒng)計局發(fā)布的數(shù)據(jù)，2019年11月全國CPI（居民消費價格指數(shù)），同比上漲4.5%，CPI上漲的主要因素是豬肉價格的上漲，豬肉加上其他畜肉影響CPI上漲3.27個百分點．下圖是2019年11月CPI一籃子商品權重，根據(jù)該圖，下列結論錯誤的是（ ）

A.CPI一籃子商品中所占權重最大的是居住

B.CPI一籃子商品中吃穿住所占權重超過50%

C.豬肉在CPI一籃子商品中所占權重約為2.5%

D.豬肉與其他畜肉在CPI一籃子商品中所占權重約為0.18%

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