【題目】如圖，四棱錐中，側(cè)面是邊長為2的等邊三角形且垂直于底面，，，是的中點(diǎn).

（1）求證：直線平面；

（2）點(diǎn)在棱上，且二面角的余弦值為，求直線與底面所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）取中點(diǎn)，連結(jié)，，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)，得出，，結(jié)合條件，可證出四邊形為平行四邊形，得出，最后根據(jù)線面平行的判定定理，即可證明直線平面；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則可得，由圖可知底面法向量，根據(jù)空間向量法求出平面的法向量，利用已知的二面角余弦值，求出，得出點(diǎn)坐標(biāo)，再利用空間向量求線面角的公式，求出直線與底面所成角的正弦值.

解：證明：（1）取中點(diǎn)，連結(jié)，，

因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，所以，，

由，得，

又，所以,//，

則四邊形為平行四邊形，有，

又平面，平面，故平面.

（2）

由已知得，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)?/span>軸正方向，為單位長，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，

，，

設(shè)，則可得，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則，即，

取，則，

又易知底面的一個(gè)法向量為，

由于二面角的余弦值為，

∴，

∴，解得或（舍去），

∴，∴，

則，

∴直線與底面所成角的正弦值為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為了研究一種昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)和溫度是否有關(guān)，現(xiàn)收集了7組觀測數(shù)據(jù)列于下表中，并作出了如圖的散點(diǎn)圖．

溫度/℃

20

22

24

26

28

30

32

產(chǎn)卵數(shù)/個(gè)

6

10

22

26

64

118

310

26

79．4

3．58

112

11．6

2340

35．72

其中．

（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與哪一個(gè)更適宜作為該昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)與溫度的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）．

（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程；（保留兩位有效數(shù)字）

（3）根據(jù)關(guān)于的回歸方程，估計(jì)溫度為33℃時(shí)的產(chǎn)卵數(shù)．

（參考數(shù)據(jù)：）

附：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】近期，西安公交公司分別推出支付寶和微信掃碼支付乘車活動(dòng)，活動(dòng)設(shè)置了一段時(shí)間的推廣期，由于推廣期內(nèi)優(yōu)惠力度較大，吸引越來越多的人開始使用掃碼支付.某線路公交車隊(duì)統(tǒng)計(jì)了活動(dòng)剛推出一周內(nèi)每一天使用掃碼支付的人次，表示活動(dòng)推出的天數(shù)，表示每天使用掃碼支付的人次（單位：十人次），統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表下所示：

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，繪制了散點(diǎn)圖.

（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，在推廣期內(nèi)，與（均為大于零的常數(shù)），哪一個(gè)適宜作為掃碼支付的人次關(guān)于活動(dòng)推出天數(shù)的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）；

（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表1中的數(shù)據(jù)，建立與的回歸方程，并預(yù)測活動(dòng)推出第8天使用掃碼支付的人次；

（3）推廣期結(jié)束后，車隊(duì)對乘客的支付方式進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下表：

西安公交六公司車隊(duì)為緩解周邊居民出行壓力，以萬元的單價(jià)購進(jìn)了一批新車，根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)可知，每輛車每個(gè)月的運(yùn)營成本約為萬元.已知該線路公交車票價(jià)為元，使用現(xiàn)金支付的乘客無優(yōu)惠，使用乘車卡支付的乘客享受折優(yōu)惠，掃碼支付的乘客隨機(jī)優(yōu)惠，根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果得知，使用掃碼支付的乘客中有的概率享受折優(yōu)惠，有的概率享受折優(yōu)惠，有的概率享受折優(yōu)惠.預(yù)計(jì)該車隊(duì)每輛車每個(gè)月有萬人次乘車，根據(jù)所給數(shù)據(jù)以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，在不考慮其它因素的條件下，按照上述收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，假設(shè)這批車需要（）年才能開始盈利，求的值.

參考數(shù)據(jù)：

其中其中，，

參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，，，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）若函數(shù)在區(qū)間（為自然對數(shù)的底數(shù)）上有唯一的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若在（為自然對數(shù)的底數(shù)）上存在一點(diǎn)，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，.

（1）若線段的中點(diǎn)為，求直線的方程；

（2）若的斜率為，且過橢圓的左焦點(diǎn)，的垂直平分線與軸交于點(diǎn)，求證：為定值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】自新型冠狀病毒疫情爆發(fā)以來，人們時(shí)刻關(guān)注疫情，特別是治愈率，治愈率累計(jì)治愈人數(shù)／累計(jì)確診人數(shù)，治愈率的高低是“戰(zhàn)役”的重要數(shù)據(jù)，由于確診和治愈人數(shù)在不斷變化，那么人們就非常關(guān)心第天的治愈率，以此與之前的治愈率比較，來推斷在這次“戰(zhàn)役”中是否有了更加有效的手段，下面是一段計(jì)算治愈率的程序框圖，請同學(xué)們選出正確的選項(xiàng)，分別填入①②兩處，完成程序框圖.（ ）

：第天新增確診人數(shù)；：第天新增治愈人數(shù)；：第天治愈率

A.，B.，

C.，D.，

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，三棱柱中，側(cè)面，已知，，，點(diǎn)是棱的中點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值；

（3）在棱上是否存在一點(diǎn)，使得與平面所成角的正弦值為，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】小姜同學(xué)有兩個(gè)盒子和，最初盒子有6枚硬幣，盒子是空的.在每一回合中，她可以將一枚硬幣從盒移到盒，或者從盒移走枚硬幣，其中是盒中當(dāng)前的硬幣數(shù).當(dāng)盒空時(shí)她獲勝.則小姜可以獲勝的最少回合是( )

A.三回合B.四回合C.五回合D.六回合

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】據(jù)國家統(tǒng)計(jì)局發(fā)布的數(shù)據(jù)，2019年11月全國CPI（居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)），同比上漲4.5%，CPI上漲的主要因素是豬肉價(jià)格的上漲，豬肉加上其他畜肉影響CPI上漲3.27個(gè)百分點(diǎn)．下圖是2019年11月CPI一籃子商品權(quán)重，根據(jù)該圖，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）

A.CPI一籃子商品中所占權(quán)重最大的是居住

B.CPI一籃子商品中吃穿住所占權(quán)重超過50%

C.豬肉在CPI一籃子商品中所占權(quán)重約為2.5%

D.豬肉與其他畜肉在CPI一籃子商品中所占權(quán)重約為0.18%

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