Question

已知f（x）=x³-3tx（t∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)t=1時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=|f（x）|（x∈[0，1]），求g（x）的最大值F（t）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當(dāng)t=1時(shí)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)研究何時(shí)能的最大值，主要要進(jìn)行分類討論．

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)閒'（x）=3x²-3t，
當(dāng)t=1時(shí)，f（x）有遞減區(qū)間（-1，1），遞增區(qū)間 （-∞，-1），（1，+∞）．…（6分）
（Ⅱ）當(dāng)t≤0時(shí)，f（x）在[0，1]上為增函數(shù)，所以f（x）≥f（0）=0，
所以F（t）=f（1）=1-3t，…（8分）
當(dāng)t＞0時(shí)，
1）

t

≥1，即t≥1，g（x）=-f（x），f（x）在[0，1]上為減函數(shù)，
F（t）=-f（1）=3t-1，…（10分）
2）

t

＜1≤2

t

，即

1

4

≤t＜1，F(xiàn)（t）=-f（

t

）=2t

t

…（12分）
3）2

t

＜1，即0＜t＜

1

4

，F(xiàn)（t）=f（1）=1-3t．…（14分）
綜上，F(t)=

1-3t，t＜ 1 4 2t t ， 1 4 ≤t＜1 3t-1，t≥1

．…（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．