設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z|=1，且（3+4i）•z是純虛數(shù)，求復(fù)數(shù)z和
.
z
．
考點(diǎn)：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算
專題：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)
分析：設(shè)z=a+bi，（a，b∈R），由|z|=1得
a2+b2
=1． （3+4i）•z=3a-4b+（4a+3b）i是純虛數(shù)，則3a-4b=0，再由
a2+b2=1
3a-4b=0
，求得ab的值，可得復(fù)數(shù)z和
.
z
．
解答： 解：設(shè)z=a+bi，（a，b∈R），由|z|=1得
a2+b2
=1．
∵（3+4i）•z=（3+4i）（a+bi）=3a-4b+（4a+3b）i是純虛數(shù)，則3a-4b=0，
再由
a2+b2
=1
3a-4b=0
⇒
a=
4
5
b=
3
5
，或
a=-
4
5
b=-
3
5
，
∴z=
4
5
+
3
5
i，
.
z
=
4
5
-
3
5
i，或者
.
z
=
4
5
+
3
5
i，z=
4
5
-
3
5
i．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查復(fù)數(shù)的基本概念，兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法，虛數(shù)單位i的冪運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

直線l1：ax-y+b=0，l2：bx-y+a=0（a、b≠0，a≠b）在同一坐標(biāo)系中的圖形大致是（　　）
A、
B、
C、
D、

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
x+1-a
a-x
（a∈R且x≠a）．
（1）證明：對(duì)定義域內(nèi)所有x，f（x）+2+f（2a-x）恒為定值；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=x2+|（x-a）f（x）|，求g（x）的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖在△ABC中，已知∠A=
π
3
，BC=4
3
，D為AB上一點(diǎn)．
（Ⅰ）若CD=2，S△BDC=2
3
，求BD長(zhǎng)；
（Ⅱ）若AC=AD，求△BCD周長(zhǎng)的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若斜率為k的兩條平行直線l，m與曲線C相切并至少有兩個(gè)切點(diǎn)，且曲線C上的所有點(diǎn)都在l，m之間（也可在直線l，m上），則把l，m稱為曲線C的“夾線”，把l，m間的距離稱為曲線C在“k方向上的寬度”，記為d（k）．已知函數(shù)f（x）=x+3cosx．
（Ⅰ）若點(diǎn)P橫坐標(biāo)為0，求f（x）圖象在點(diǎn)P處的切線方程；
（Ⅱ）試判斷y=x+3和y=x-3是否是f（x）的“夾線”，若是，求d（1）；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（Ⅲ）求證：函數(shù)F（x）=-
1
3
x3+x的圖象不存在“夾線”．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知直線：y=k（x+2）與圓O：x2+y2=4相交于A、B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，三角形ABO的面積為S．
（1）試將S表示成的函數(shù)S（k），并求出它的定義域；
（2）求S的最大值，并求取得最大值時(shí)k的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖：在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=C1C，AC⊥CB，D為AB的中點(diǎn)，
（1）求證：AC1∥平面CDB1；
（2）求二面角B-B1C-D的正弦值的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

下表是某市從3月份中隨機(jī)抽取的10天空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）和“PM2.5”（直徑小于等于2.5微米的顆粒物）24小時(shí)平均濃度的數(shù)據(jù)，空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）小于100表示空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良．
日期編號(hào) A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10
空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI） 179 40 98 124 29 133 241 424 95 89
“PM2.5”24小時(shí)平均濃度（ug/m3） 135 5 80 94 80 100 190 387 70 66
（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，估計(jì)該市當(dāng)月某日空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的概率；
（2）在上表數(shù)據(jù)中，在表示空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的日期中，隨機(jī)抽取兩個(gè)對(duì)其當(dāng)天的數(shù)據(jù)作進(jìn)一步的分析，設(shè)事件M為“抽取的兩個(gè)日期中，當(dāng)天“PM2.5”的24小時(shí)平均濃度不超過(guò)75ug/m3”，求事件M發(fā)生的概率；
（3）在上表數(shù)據(jù)中，在表示空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的日期中，隨機(jī)抽取3天，記ξ為“PM2.5”24小時(shí)平均濃度不超過(guò)75ug/m3的天數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其側(cè)（左）視圖是一個(gè)等邊三角形，則這個(gè)幾何體的體積是
 
．

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