Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥BC，P為A₁C₁的中點，AB=BC=PA．
（I）求證：PA⊥B₁C；
（II）求PA與平面ABB₁A₁所成角的大�。�

Answer 1

解：由題意可以建立以下空間直角坐標系：以點B為坐標原點，分別以BA、BC、BB₁所在的直線為x軸、y軸、z軸．如圖所示：設|BA|=2，|BB₁|=z，則B（0，0，0），A（2，0，0），
C（0，2，0），B₁（0，0，z），A₁（2，0，z），C₁（0，2，z），∴線段A₁C₁的中點P（1，1，z），
∴．
∵|PA|=|AB|=2，∴，解得．即B₁（0，0，），A₁（2，0，），．
（Ⅰ）∵=，=，
∴=2-2=0，∴，即AP⊥B₁C．
（Ⅱ）設PA與平面ABB₁A₁所成角為θ，．
取平面ABB₁A₁的法向量，
則sinθ===．
∴．
分析：（Ⅰ）建立如圖所示的空間直角坐標系，分別求出、，只要證明即可．
（Ⅱ）取平面ABB₁A₁的法向量，利用公式則sinθ==求出即可．
點評：通過建立空間直角坐標系，利用數(shù)量積和平面的法向量是解決此類問題的通法，應熟練掌握．