Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-x²+x+2
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若a＞0，求f（x）在區(qū)間（0，a]上的最大值；
（III）設(shè)函數(shù)g（x）=x³-（1+2e）x²+（m+1）x+2，（m∈R），試討論函數(shù)f（x）與g（x）圖象交點的個數(shù)．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵f（x）=lnx-x²+x+2，其定義域為（0，+∞）．（1分）
∴．（2分）
∵x＞0，∴當0＜x＜1時，f′（x）＞0；當x＞1時，f′（x）＜0．
故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，1）；單調(diào)遞減區(qū)間是（1，+∞）．（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，1）；單調(diào)遞減區(qū)間是（1，+∞）．
當0＜a≤1時，f（x）在區(qū)間（0，a]上單調(diào)遞增，f（x）的最大值f（x）_max=f（a）=lna-a²+a+2；
當a＞1時，f（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，a）上單調(diào)遞減，則f（x）在x=1處取得極大值，也即該函數(shù)在（0，a]上的最大值，此時f（x）的最大值f（x）_max=f（1）=2；
∴f（x）在區(qū)間（0，a]上的最大值…（8分）
（Ⅲ）討論函數(shù)f（x）與g（x）圖象交點的個數(shù)，即討論方程f（x）=g（x）在（0，+∞）上根的個數(shù)．
該方程為lnx-x²+x+2=x³-（1+2e）x²+（m+1）x+2，即lnx=x³-2ex²+mx．
只需討論方程在（0，+∞）上根的個數(shù)，…（9分）
令u（x）=（x＞0），v（x）=x²-2ex+m．
因u（x）=（x＞0），u′（x）=，令u′（x）=0，得x=e，
當x＞e時，u′（x）＜0；當0＜x＜e時，u′（x）＞0，∴u（x）_max=u（e）=，
當x→0⁺時，u（x）=→-∞； 當x→+∞時，→0，但此時u（x）＞0，且以x軸為漸近線．
如圖構(gòu)造u（x）=的圖象，并作出函數(shù)v（x）=x²-2ex+m的圖象．
①當m-e²＞，即m＞時，方程無根，沒有公共點；
②當，即時，方程只有一個根，有一個公共點；
③當，即時，方程有兩個根，有兩個公共點．…（12分）
分析：（Ⅰ）確定函數(shù)的定義域，求導函數(shù)，利用導數(shù)的正負，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，1）；單調(diào)遞減區(qū)間是（1，+∞），對a分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可得函數(shù)在區(qū)間（0，a]上的最大值；
（Ⅲ）討論函數(shù)f（x）與g（x）圖象交點的個數(shù)，即討論方程f（x）=g（x）在（0，+∞）上根的個數(shù)，該方程為lnx-x²+x+2=x³-（1+2e）x²+（m+1）x+2，即lnx=x³-2ex²+mx，只需討論方程在（0，+∞）上根的個數(shù)．
點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查函數(shù)圖象的交點，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，綜合性強，難度大．