【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求證： ；

（2）當(dāng)且時(shí)，求函數(shù)的最小值；

（3）若，證明： .

【答案】（1）見解析（2）的最小值為.（3）見解析

【解析】【試題分析】（1）借助導(dǎo)數(shù)運(yùn)用求函數(shù)的最小值滿足不等式即可；（2）借助問題（1）的結(jié)論進(jìn)行求解；（3）先不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，再構(gòu)造函數(shù)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)分析求解：

（1）證明： ，

當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)， ，

函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以.

（2）解：當(dāng)時(shí)， ，

由第（1）問的結(jié)論可知，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增，

，即為且時(shí)，函數(shù)的最小值為.

（3）證明:由第（2）問的結(jié)論可知，當(dāng)時(shí)， ，要證： ，

只需證，即證，

設(shè)，

令，則，

函數(shù)在上單調(diào)遞增， ，即，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

，綜上所述，當(dāng)時(shí)， 且，

所以成了.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】分形幾何學(xué)是數(shù)學(xué)家伯努瓦·曼德爾布羅在世紀(jì)年代創(chuàng)立的一門新的數(shù)學(xué)學(xué)科，它的創(chuàng)立為解決傳統(tǒng)科學(xué)眾多領(lǐng)域的難題提供了全新的思路.按照如圖所示的分形規(guī)律可得如圖乙所示的一個(gè)樹形圖：

若記圖乙中第行白圈的個(gè)數(shù)為，則__________．

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【題目】5名男生4名女生站成一排，求滿足下列條件的排法：

（1）女生都不相鄰有多少種排法？

（2）男生甲、乙、丙排序一定（只考慮位置的前后順序)，有多少種排法?

（3）男甲不在首位，男乙不在末位，有多少種排法？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，AB＝AA1＝1，E為BC中點(diǎn)．

(1)求證：C1D⊥D1E；

(2)在棱AA1上是否存在一點(diǎn)M，使得BM∥平面AD1E？若存在，求的值，若不存在，說明理由；

(3)若二面角B1AED1的大小為90°，求AD的長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知二次函數(shù)， .

（1）若，寫出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間和減區(qū)間；

（2）若，求函數(shù)的最大值和最小值；

（3）若函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知過點(diǎn)A(0，1)且斜率為k的直線l與圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N兩點(diǎn)．

(1)求k的取值范圍；

(2)若＝12，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求|MN|.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】對(duì)于區(qū)間和函數(shù),若同時(shí)滿足：①在上是單調(diào)函數(shù)；②函數(shù)， 的值域還是，則稱區(qū)間為函數(shù)的“不變”區(qū)間.

（1）求函數(shù)的所有“不變”區(qū)間.

（2）函數(shù)是否存在“不變”區(qū)間？若存在，求出實(shí)數(shù)的取值范圍；若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】若正項(xiàng)數(shù)列{}滿足：，則稱此數(shù)列為“比差等數(shù)列”．

（1）請(qǐng)寫出一個(gè)“比差等數(shù)列”的前3項(xiàng)的值；

（2）設(shè)數(shù)列{}是一個(gè)“比差等數(shù)列”

（i）求證：；

（ii）記數(shù)列{}的前項(xiàng)和為，求證：對(duì)于任意，都有．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某中學(xué)擬在高一下學(xué)期開設(shè)游泳選修課，為了了解高一學(xué)生喜歡游泳是否與性別有關(guān)，該學(xué)校對(duì)100名高一新生進(jìn)行了問卷調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：

喜歡游泳

不喜歡游泳

合計(jì)

男生

10

女生

20

合計(jì)

已知在這100人中隨機(jī)抽取1人抽到喜歡游泳的學(xué)生的概率為．

（1）請(qǐng)將上述列聯(lián)表補(bǔ)充完整；

（2）并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為喜歡游泳與性別有關(guān)？并說明你的理由；

（3）已知在被調(diào)查的學(xué)生中有5名來自甲班，其中3名喜歡游泳，現(xiàn)從這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求恰好有1人喜歡游泳的概率．

下面的臨界值表僅供參考：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

（參考公式：，其中）

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