Question

在數(shù)列a_n中，a₁=2，a_n+1=2a_n+2ⁿ⁺¹（n∈N）．
（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；
（2）若m為正整數(shù)，當(dāng)

Answer 1

【答案】分析：（I）把題設(shè)中數(shù)列遞推式變形得，根據(jù)等差數(shù)列的定義判斷出數(shù)列是等差數(shù)列．
（II）根據(jù)（I）可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求得a_n，令f（n）=，則可表示出f（n+1），進(jìn)而求得當(dāng)m≥n≥2時(shí)的表達(dá)式，進(jìn)而求得解決大于1，判斷出f（n）為遞減數(shù)列，進(jìn)而可推斷出f（n）的最大值為
f（2），進(jìn)而問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明f（2）≤．進(jìn)而根據(jù)推斷出進(jìn)而可知原式得證．
解答：解：（I）由a_n+1=2a_n+2ⁿ⁺¹變形得：
故數(shù)列是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列
（II）由（I）得a_n=n•2ⁿ
令
當(dāng)=
又∴
則為遞減數(shù)列．
當(dāng)m=n時(shí)，f（n）＞f（n+1）
∴當(dāng)m≥n≥2時(shí)，f（n）遞減數(shù)列．
∴
要證：時(shí)，
=
故原不等式成立．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等差關(guān)系的確定，數(shù)列與不等式的綜合運(yùn)用．考查了考生綜合分析問(wèn)題和演繹推理的能力，轉(zhuǎn)化和化歸思想的運(yùn)用．屬中檔題．