Question

已知函數(shù)f（x）=log_a（1-a^x），其中a＞0，a≠1．
（1）求反函數(shù)f^-1（x）及其定義域；
（2）解關(guān)于x的不等式log_a（1-ax）＞f^-1（1）．

Answer 1

考點(diǎn)：反函數(shù),函數(shù)的定義域及其求法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由已知得a^x=1-a^y，從而x=loga(1-ay)，由此能求出反函數(shù)f^-1（x）=log_a（1-a^x），a＞0，a≠1．
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，1-a^x＞0，則x＞0即定義域?yàn)椋?，+∞）；當(dāng)a＞1時(shí)，1-a^x＞0，則x＜0，則定義域?yàn)椋?∞，0）．
（2）由已知得log_a（1-ax）＞f^-1（1）=log_a（1-a），當(dāng)0＜a＜1時(shí)，解得x∈（0，1）；當(dāng)a＞1時(shí)，解得x∈（-∞，0）．

解答： 解：（1）∵f（x）=y=log_a（1-a^x），其中a＞0，a≠1，
∴a^y=1-a^x，
∴a^x=1-a^y，
x=loga(1-ay)，
x，y互換，得反函數(shù)f^-1（x）=log_a（1-a^x），a＞0，a≠1．
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，1-a^x＞0，則x＞0即定義域?yàn)椋?，+∞）；
當(dāng)a＞1時(shí)，1-a^x＞0，則x＜0，則定義域?yàn)椋?∞，0）；
（2）∵f^-1（1）=log_a（1-a），
∴l(xiāng)og_a（1-ax）＞f^-1（1）=log_a（1-a），
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，1-a^x＜1-a，
解得x∈（0，1）；
當(dāng)a＞1時(shí)，1-a^x＞1-a，
解得x∈（-∞，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的反函數(shù)及其定義域的求法，考查關(guān)于x的不等式的解法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，是中檔題．