Question

【題目】已知過拋物線x2＝2py(p>0)的焦點，斜率為的直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)兩點，且|AB|＝9.

(1)求該拋物線的方程；

(2)O為坐標原點，C為拋物線上一點，若,求λ的值.

Answer 1

【答案】（1）x2＝8y；（2）λ＝0或λ＝2..

【解析】

（1）設(shè)直線AB的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)弦長，求和拋物線方程；

（2）由（1）求得點的坐標，代入向量的坐標表示點的坐標，利用點在拋物線上，代入拋物線方程求的值.

(1)拋物線x2＝2py的焦點為，

所以直線AB的方程為，

由消去x得4y2－5py＋p2＝0，

所以y1＋y2＝，

由拋物線定義得|AB|＝y1＋y2＋p＝9，

即＋p＝9，所以p＝4.

所以拋物線的方程為x2＝8y.

(2)由p＝4知，方程4y2－5py＋p2＝0，

可化為y2－5y＋4＝0，

解得y1＝1，y2＝4，故x1＝－2，x2＝4.

所以A(－2，1)，B(4，4).

則＝(－2，1)＋λ(4，4)＝(－2＋4λ，1＋4λ).

因為C為拋物線上一點，所以(－2＋4λ)2＝8(1＋4λ)，

整理得λ2－2λ＝0，所以λ＝0或λ＝2.