Question

已知f(x)=log_a(a>0且a≠1).
(1)求函數(shù)的定義域；
(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(3)求使f(x)>0的x的取值范圍.

Answer 1

(1)由>0得-1<x<1.
∴函數(shù)的定義域?yàn)?-1,1).
(2)對(duì)任意-1<x₁<x₂<1,
<0，∴.
當(dāng)a>1時(shí)，log_a<log _a，即f(x₁)<f(x₂)；
當(dāng)0<a<1時(shí)，log_a>log_a，即f(x₁)>f(x₂).
∴當(dāng)a>1時(shí)，f(x)為(-1，1)上的增函數(shù)；
當(dāng)0<a<1時(shí)，f(x)為(-1，1)上的減函數(shù).
(3)log_a>0=log_a1.
當(dāng)a>1時(shí)，>1，即-1=>0.
∴2x(x-1)<0.∴0<x<1.
當(dāng)0<a<1時(shí)，解得-1<x<0.
∴當(dāng)a>1時(shí)，f(x)>0的解為(0，1)；
當(dāng)0<a<1時(shí)，f(x)>0的解為(-1，0).

注意對(duì)數(shù)函數(shù)的底和真數(shù)的制約條件以及底的取值范圍對(duì)單調(diào)性的影響.