【題目】如圖，在正三棱柱中，.

（1）求直線與平面所成角的正弦值；

（2）在線段上是否存在點？使得二面角的大小為60°，若存在，求出的長；若不存在，請說明理由.

【答案】（1）；（2）存在，.

【解析】

建立空間直角坐標(biāo)系，

（1）利用直線的方向向量和平面的法向量，計算出直線與平面所成角的正弦值.

（2）設(shè)出的長，得到點的坐標(biāo)，通過平面與平面的法向量，結(jié)合二面角的大小為60°列方程，解方程求得的長.

如圖，以中點為原點建立空間直角坐標(biāo)系，

可得.

（1）所以，平面的一個法向量

所以，

所以直線與平面所成角的正弦值為.

（2）假設(shè)存在滿足條件的點，設(shè)，

則，設(shè)平面的法向量，

因為，，

且

所以 所以平面的一個法向量

又因為平面的一個法向量

所以，

解得，因為，此時，

所以存在點，使得二面角的大小為60°.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】廠家在產(chǎn)品出廠前，需對產(chǎn)品做檢驗，廠家將一批產(chǎn)品發(fā)給商家時，商家按合同規(guī)定也需隨機抽取一定數(shù)量的產(chǎn)品做檢驗，以決定是否接收這批產(chǎn)品．

（1）若廠家?guī)旆恐校ㄒ暈閿?shù)量足夠多）的每件產(chǎn)品合格的概率為 從中任意取出 3件進行檢驗，求至少有 件是合格品的概率；

（2）若廠家發(fā)給商家 件產(chǎn)品，其中有不合格，按合同規(guī)定 商家從這 件產(chǎn)品中任取件，都進行檢驗，只有 件都合格時才接收這批產(chǎn)品，否則拒收．求該商家可能檢驗出的不合格產(chǎn)品的件數(shù)ξ的分布列，并求該商家拒收這批產(chǎn)品的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某超市在節(jié)日期間進行有獎促銷，凡在該超市購物滿元的顧客，將獲得一次摸獎機會，規(guī)則如下：一個袋子裝有只形狀和大小均相同的玻璃球，其中兩只是紅色，三只是綠色，顧客從袋子中一次摸出兩只球，若兩只球都是紅色，則獎勵元；共兩只球都是綠色，則獎勵元；若兩只球顏色不同，則不獎勵．

（1）求一名顧客在一次摸獎活動中獲得元的概率；

（2）記為兩名顧客參與該摸獎活動獲得的獎勵總數(shù)額，求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性；

(Ⅱ)設(shè)，若對任意的，恒成立，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f(x)＝lg(x＋1)．

(1)若0<f(1－2x)－f(x)<1，求實數(shù)x的取值范圍；

(2)若g(x)是以2為周期的偶函數(shù)，且當(dāng)0≤x≤1時，有g(x)＝f(x)，當(dāng)x∈[1,2]時，求函數(shù)y＝g(x)的解析式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某地舉行水上運動會，如圖，岸邊有兩點，，小船從點以千米/小時的速度沿方向勻速直線行駛，同一時刻運動員出發(fā)，經(jīng)過小時與小船相遇.（水流速度忽略不計）

（1）若，，運動員從處出發(fā)游泳勻速直線追趕，為保證在1小時內(nèi)（含1小時）能與小船相遇，試求運動員游泳速度的最小值；

（2）若運動員先從處沿射線方向在岸邊跑步勻速行進小時后，再游泳勻速直線追趕小船.已知運動員在岸邊跑步的速度為4千米小時，在水中游泳的速度為2千米小時，試求小船在能與運動員相遇的條件下的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)的定義域為，如果存在非零常數(shù)，對于任意，都有，則稱函數(shù)是“似周期函數(shù)”，非零常數(shù)為函數(shù)的“似周期”．現(xiàn)有下面四個關(guān)于“似周期函數(shù)”的命題：

①如果“似周期函數(shù)”的“似周期”為，那么它是周期為2的周期函數(shù)；

②函數(shù)是“似周期函數(shù)”；

③如果函數(shù)是“似周期函數(shù)”，那么“或”．

以上正確結(jié)論的個數(shù)是（ ）

A.0B.1C.2D.3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)橢圓：的左、右焦點分別為，，下頂點為，橢圓的離心率是，的面積是.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）直線與橢圓交于，兩點（異于點），若直線與直線的斜率之和為1，證明：直線恒過定點，并求出該定點的坐標(biāo).

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同步練習(xí)冊答案