設(shè)點E、F分別是橢圓C:數(shù)學(xué)公式=1(a>b>0)的左、右焦點,過點E垂直于橢圓長軸的直線交橢圓于A、B兩點,△ABF是正三角形.
(1)求橢圓的離心率;
(2)過定點D(-數(shù)學(xué)公式,0)作直線l與橢圓C交于不同的兩點P、Q,且滿足數(shù)學(xué)公式,O是坐標原點.當△OPQ的面積最大時,求橢圓的方程.

解:(1)設(shè)橢圓的半焦距為c,則 直線AB的方程為x=-c,將x=-c代入橢圓方程=1,注意到c2=a2-b2,解得y=±,所以|AB|=,|EF|=2c
∵△ABF是正三角形,∴

,b2=a2-c2
e2+2e-=0
(舍去)
故所求橢圓的離心率為
(2)由(1)知,a2=3c2,b2=2c2,∴橢圓的方程為2x2+3y2=6c2,①
顯然,直線l的斜率不為0
若直線l與x軸垂直,此時P,Q關(guān)于x軸對稱,,不合題意;
因此,可設(shè)直線l的方程為y=k(x+)②,
將②代入①中整理得(3k2+2)x2+6k2x+9k2-6c2=0
因為直線l與橢圓交于P,Q兩點,所以△=24(3k2c2-3k2+2c2)>0
設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則x1+x2=-④,x1x2=
得(x1+,y1)=2(--x2,-y2),∴
由④⑥得,
∴S△OPQ=|y1-y2|=|x1-x2|=18×=18×
當且僅當3|k|=,即k2=時,等號成立
∴k2=時,S△OPQ取得最大值
由⑦求得x1=,x2=-2,代入⑤,求得c2=5,滿足③
故所求橢圓的方程為2x2+3y2=30,即
分析:(1)設(shè)橢圓的半焦距為c,則 直線AB的方程為x=-c,將x=-c代入橢圓方程,求得|AB|=,|EF|=2c,根據(jù)△ABF是正三角形,可得,從而可求橢圓的離心率;
(2)由(1)知可得橢圓的方程為2x2+3y2=6c2,設(shè)直線l的方程為y=k(x+),代入橢圓方程,利用韋達定理及確定P,Q坐標之間的關(guān)系,表示出面積,利用基本不等式求出S△OPQ的最大值,即可得到橢圓的方程.
點評:本題考查橢圓的幾何性質(zhì),考查橢圓的標準方程,解題的關(guān)鍵是確定幾何量之間的關(guān)系,利用直線與橢圓聯(lián)立,結(jié)合韋達定理求解.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•九江一模)設(shè)點E、F分別是橢圓C:
x2
a2
y2
b2
=1
(a>b>0)的左、右焦點,過點E垂直于橢圓長軸的直線交橢圓于A、B兩點,△ABF是正三角形.
(1)求橢圓的離心率;
(2)設(shè)橢圓C的焦距為2,過點P(3,0)且不與坐標軸重合的直線交橢圓C于M、N兩點,點M關(guān)于x軸的對稱點為M',求證:直線M'N過x軸一定點,并求此定點坐標.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•九江一模)設(shè)點E、F分別是橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左、右焦點,過點E垂直于橢圓長軸的直線交橢圓于A、B兩點,△ABF是正三角形.
(1)求橢圓的離心率;
(2)過定點D(-
3
,0)作直線l與橢圓C交于不同的兩點P、Q,且滿足
DP
=2
QD
,O是坐標原點.當△OPQ的面積最大時,求橢圓的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

設(shè)點E、F分別是橢圓C:數(shù)學(xué)公式(a>b>0)的左、右焦點,過點E垂直于橢圓長軸的直線交橢圓于A、B兩點,△ABF是正三角形.
(1)求橢圓的離心率;
(2)設(shè)橢圓C的焦距為2,過點P(3,0)且不與坐標軸重合的直線交橢圓C于M、N兩點,點M關(guān)于x軸的對稱點為M',求證:直線M'N過x軸一定點,并求此定點坐標.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012年江西省九江市高考數(shù)學(xué)一模試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

設(shè)點E、F分別是橢圓C:(a>b>0)的左、右焦點,過點E垂直于橢圓長軸的直線交橢圓于A、B兩點,△ABF是正三角形.
(1)求橢圓的離心率;
(2)設(shè)橢圓C的焦距為2,過點P(3,0)且不與坐標軸重合的直線交橢圓C于M、N兩點,點M關(guān)于x軸的對稱點為M',求證:直線M'N過x軸一定點,并求此定點坐標.

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