Question

設(shè)點E、F分別是橢圓C：=1（a＞b＞0）的左、右焦點，過點E垂直于橢圓長軸的直線交橢圓于A、B兩點，△ABF是正三角形．
（1）求橢圓的離心率；
（2）過定點D（-，0）作直線l與橢圓C交于不同的兩點P、Q，且滿足，O是坐標原點．當△OPQ的面積最大時，求橢圓的方程．

Answer 1

解：（1）設(shè)橢圓的半焦距為c，則 直線AB的方程為x=-c，將x=-c代入橢圓方程=1，注意到c²=a²-b²，解得y=±，所以|AB|=，|EF|=2c
∵△ABF是正三角形，∴
∴
∵，b²=a²-c²，
∴e²+2e-=0
∴或（舍去）
故所求橢圓的離心率為
（2）由（1）知，a²=3c²，b²=2c²，∴橢圓的方程為2x²+3y²=6c²，①
顯然，直線l的斜率不為0
若直線l與x軸垂直，此時P，Q關(guān)于x軸對稱，，不合題意；
因此，可設(shè)直線l的方程為y=k（x+）②，
將②代入①中整理得（3k²+2）x²+6k²x+9k²-6c²=0
因為直線l與橢圓交于P，Q兩點，所以△=24（3k²c²-3k²+2c²）＞0
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x₁+x₂=-④，x₁x₂=⑤
由得（x₁+，y₁）=2（--x₂，-y₂），∴⑥
由④⑥得，⑦
∴S_△OPQ=|y₁-y₂|=|x₁-x₂|=18×=18×≤
當且僅當3|k|=，即k²=時，等號成立
∴k²=時，S_△OPQ取得最大值
由⑦求得x₁=，x₂=-2，代入⑤，求得c²=5，滿足③
故所求橢圓的方程為2x²+3y²=30，即
分析：（1）設(shè)橢圓的半焦距為c，則 直線AB的方程為x=-c，將x=-c代入橢圓方程，求得|AB|=，|EF|=2c，根據(jù)△ABF是正三角形，可得，從而可求橢圓的離心率；
（2）由（1）知可得橢圓的方程為2x²+3y²=6c²，設(shè)直線l的方程為y=k（x+），代入橢圓方程，利用韋達定理及確定P，Q坐標之間的關(guān)系，表示出面積，利用基本不等式求出S_△OPQ的最大值，即可得到橢圓的方程．
點評：本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查橢圓的標準方程，解題的關(guān)鍵是確定幾何量之間的關(guān)系，利用直線與橢圓聯(lián)立，結(jié)合韋達定理求解．