如圖，F(xiàn)是中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C的右焦點(diǎn)，直線l：x＝4是橢圓C的右準(zhǔn)線，F(xiàn)到直線l的距離等于3.

(1)求橢圓C的方程；

(2)點(diǎn)P是橢圓C上動點(diǎn)，PM⊥l，垂足為M.是否存在點(diǎn)P，使得△FPM為等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

 

（1）＝1.（2）在點(diǎn)P

【解析】(1)設(shè)橢圓C的方程為＝1(a＞b＞0)，由已知，得∴∴b＝.所以橢圓C的方程為＝1.

(2)由＝e＝，得PF＝PM.∴PF≠PM.

①若PF＝FM，則PF＋FM＝PM，與“三角形兩邊之和大于第三邊”矛盾，∴PF不可能與PM相等．

②若FM＝PM，設(shè)P(x，y)(x≠±2)，則M(4，y)．∴＝4－x，∴9＋y2＝16－8x＋x2.又由＝1，得y2＝3－x2.∴9＋3－x2＝16－8x＋x2，

∴x2－8x＋4＝0.∴7x2－32x＋16＝0.∴x＝或x＝4.

∵x∈(－2，2)，∴x＝.∴P.綜上，存在點(diǎn)P，使得△PFM為等腰三角形．

 

練習(xí)冊系列答案
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已知直線l1、l2分別與拋物線x2＝4y相切于點(diǎn)A、B，且A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為a、b(a、b∈R)．

(1)求直線l1、l2的方程；

(2)若l1、l2與x軸分別交于P、Q，且l1、l2交于點(diǎn)R，經(jīng)過P、Q、R三點(diǎn)作圓C.

①當(dāng)a＝4，b＝－2時，求圓C的方程；

②當(dāng)a，b變化時，圓C是否過定點(diǎn)？若是，求出所有定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請說明理由．

 

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在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1，0)．

(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)M、N是拋物線C的準(zhǔn)線上的兩個動點(diǎn)，且它們的縱坐標(biāo)之積為－4，直線MO、NO與拋物線的交點(diǎn)分別為點(diǎn)A、B，求證：動直線AB恒過一個定點(diǎn)．

 

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已知橢圓＝1(a>b>0)的離心率為，且過點(diǎn)P，A為上頂點(diǎn)，F(xiàn)為右焦點(diǎn)．點(diǎn)Q(0，t)是線段OA(除端點(diǎn)外)上的一個動點(diǎn)，

過Q作平行于x軸的直線交直線AP于點(diǎn)M，以QM為直徑的圓的圓心為N.

(1)求橢圓方程；

(2)若圓N與x軸相切，求圓N的方程；

(3)設(shè)點(diǎn)R為圓N上的動點(diǎn)，點(diǎn)R到直線PF的最大距離為d，求d的取值范圍．

 

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如圖，過拋物線C：y2＝4x上一點(diǎn)P(1，－2)作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線，分別與拋物線交于點(diǎn)A(x，y1)，B(x2，y2)．

(1)求y1＋y2的值；

(2)若y1≥0，y2≥0，求△PAB面積的最大值．

 

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