Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=

a

a-1

（a_n-1）（a為常數(shù)，且a≠0，a≠1，n∈N^*），數(shù)列{b_n}滿足b₁+2b₂+…+（n-1）b_n-1+nb_n=yz{

10

9

}^n-1-

100

9

．
（1）求a_n與b_n的表達(dá)式；
（2）設(shè)c_n=（n+

an

an

）bn，試問數(shù)列{c_n}有沒有最小項(xiàng)？如果有，求出這個(gè)最小項(xiàng)；如果沒有，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）由S_n=

a

a-1

（a_n-1），知a₁=a，

an

an-1

=a．所以a_n=a•a^n-1=aⁿ．由b₁+2b₂+…+（n-1）b_n-1+nb_n=（n+10）•（

9

10

）^n-1-

100

9

得：b₁+2b₂+…+（n-1）b_n-1=（n+9）•（

9

10

）^n-2-

100

9

（n≥2）．由此能求出b_n．
（2）Cn=(n+

an

an

) bn=-

n+1

9

•(

10

9

)n-1，所以c_n+1-c_n=-

n+2

9

（

9

10

）ⁿ+

n+1

9

（

9

10

）^n-1=

n-8

90

•（

9

10

）^n-1．經(jīng)分類討論知c₉、c₈是數(shù)列的最小項(xiàng)且c₈=c₉=-（

9

10

）⁷．

解答：解：（1）因?yàn)镾_n=

a

a-1

（a_n-1），
所以，當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=

a

a-1

（a₁-1），解之得a₁=a；
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=

a

a-1

a_n-

a

a-1

a_n-1，即

an

an-1

=a．
又a≠0，a≠1，所以數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列．
所以a_n=a•a^n-1=aⁿ．
由b₁+2b₂+…+（n-1）b_n-1+nb_n=（n+10）•
（

9

10

）^n-1-

100

9

得：b₁+2b₂+…+（n-1）b_n-1=（n+9）•（

9

10

）^n-2-

100

9

（n≥2）．
兩式相減得nb_n=（n+10）•（

9

10

）^n-1-（n+9）•（

9

10

）^n-2=-

n

10

（

9

10

）^n-2．
故b_n=-

1

9

•（

9

10

）^n-1（n≥2），
當(dāng)n=1時(shí)，b₁=11-

100

9

=-

1

9

也符合上式，
故b_n=-

1

9

•（

9

10

）^n-1．
（2）Cn=(n+

an

an

) bn=-

n+1

9

•(

10

9

)n-1，
所以c_n+1-c_n=-

n+2

9

（

9

10

）ⁿ+

n+1

9

（

9

10

）^n-1
=

n-8

90

•（

9

10

）^n-1．
當(dāng)n＞8時(shí)，c_n+1＞c_n，故c₉＜c₁₀＜，
當(dāng)n=8時(shí)，c_n+1-c_n=0，故c₉=c₈，
當(dāng)n＜8時(shí)，c_n+1＜c_n，故c₁＞c₂＞c₃＞＞c₈．
綜上可得，c₉、c₈是數(shù)列的最小項(xiàng)且c₈=c₉=-（

9

10

）⁷．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求法和用分類討論思想求解數(shù)列的最小值，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意公式的合理選用．