【題目】己知函數(shù)f(x)= (其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),h(x)=x﹣ .
(I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(II)設(shè)g(x)= ,.已知直線y= 是曲線y=f(x)的切線,且函數(shù)g(x)在(0,+∞)上是增函數(shù).
(i)求實(shí)數(shù)a的值;
(ii)求實(shí)數(shù)c的取值范圍.
【答案】解:(Ⅰ)∵ ,
∴ ,
①當(dāng)a>0時(shí),
在x∈(﹣∞,0)∪(2,+∞)時(shí),f'(x)<0,在x∈(0,2)時(shí),f'(x)>0,
故f(x)在(﹣∞,0),(2,+∞)上是減函數(shù),在(0,2)上是增函數(shù);
②當(dāng)a<0時(shí),
在x∈(﹣∞,0)∪(2,+∞)時(shí),f'(x)>0,在x∈(0,2)時(shí),f'(x)<0,
故f(x)在(﹣∞,0),(2,+∞)上是增函數(shù),在(0,2)上是減函數(shù);
(Ⅱ)(i)對(duì)f(x)求導(dǎo),得 ,
設(shè)直線 與曲線y=f(x)切于點(diǎn)P(x0,y0),
則 解得a=x0=1,∴a=1
(ii)記函數(shù)(x)=f(x)﹣h(x)= ,x>0,
求導(dǎo),得 ,
當(dāng)x≥2時(shí),'(x)<0恒成立,
當(dāng)0<x<2時(shí), ,
∴ ,
∴'(x)<0在(0,+∞)上恒成立,故(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減.
又 , ,
曲線(x)=f(x)﹣h(x)在[1,2]上連續(xù)不間斷,
∴由函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理及其單調(diào)性知,唯一的x0∈(1,2),使(x0)=0.
∴當(dāng)x∈(0,x0)時(shí),(x)>0,當(dāng)x∈(x0,+∞)時(shí),(x)<0.
∴當(dāng)x>0時(shí), =
求導(dǎo),得
由函數(shù)g(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),且曲線y=g(x)在(0,+∞)上連續(xù)不斷知:
g'(x)≥0在(0,x0],(x0,+∞)上恒成立.
①當(dāng)x∈(x0,+∞)時(shí), ﹣2cx≥0在(x0,+∞)上恒成立,
即 在(x0,+∞)上恒成立,
記 ,x>x0,則 ,x>x0,
當(dāng) x變化時(shí),u'(x),u(x)變化情況列表如下:
x | (x0,3) | 3 | (3,+∞) |
u'(x) | ﹣ | 0 | + |
u(x) | ↓ | 極小值 | ↑ |
∴u(x)min=u(x)極小值=u(3)= ,
故“ 在(x0,+∞)上恒成立”,只需2c≤u(x)min= ,即 .
②當(dāng)x∈(0,x0]時(shí),g'(x)=1+ ﹣2cx,
當(dāng)c≤0時(shí),g'(x)>0在x∈(0,x0]上恒成立,
綜合①②知,當(dāng) 時(shí),函數(shù)g(x)在(0,+∞)上是增函數(shù).
故實(shí)數(shù)c的取值范圍是
【解析】(Ⅰ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過(guò)討論a的范圍,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;(Ⅱ)(i)根據(jù)切線方程求出a的值即可;(ii)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為 在(x0,+∞)上恒成立,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出c的范圍即可.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知f(x)=a(x﹣lnx)+ ,a∈R.
(I)討論f(x)的單調(diào)性;
(II)當(dāng)a=1時(shí),證明f(x)>f′(x)+ 對(duì)于任意的x∈[1,2]成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知角x始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,與圓x2+y2=4相交于點(diǎn)A,終邊與圓x2+y2=4相交于點(diǎn)B,點(diǎn)B在x軸上的射影為C,△ABC的面積為S(x),函數(shù)y=S(x)的圖象大致是( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn , 且a3=9,S6=60.
(I)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(II)若數(shù)列{bn}滿足bn+1﹣bn=an(n∈N+)且b1=3,求數(shù)列 的前n項(xiàng)和Tn .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知下列命題: ①x∈(0,2),3x>x3的否定是:x∈(0,2),3x≤x3;
②若f(x)=2x﹣2﹣x , 則x∈R,f(﹣x)=﹣f(x);
③若f(x)=x+ ,x0∈(0,+∞),f(x0)=1;
④在△ABC中,若A>B,則sin A>sin B.
其中真命題是 . (將所有真命題序號(hào)都填上)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓C: 的上、下焦點(diǎn)分別為F1 , F2 , 上焦點(diǎn)F1到直線 4x+3y+12=0的距離為3,橢圓C的離心率e= .
(I)若P是橢圓C上任意一點(diǎn),求| || |的取值范圍;
(II)設(shè)過(guò)橢圓C的上頂點(diǎn)A的直線l與橢圓交于點(diǎn)B(B不在y軸上),垂直于l的直線與l交于點(diǎn)M,與x軸交于點(diǎn)H,若 =0,且| |=| |,求直線l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn , a1=a,當(dāng)n≥2時(shí), =3n2an+S ,an≠0,n∈N*.
(1)求a的值;
(2)設(shè)數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Tn , 且cn=3n﹣1+a5 , 求使不等式4Tn>S10成立的最小正整數(shù)n的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】四棱錐P﹣ABCD的底面是一個(gè)正方形,PA⊥平面ABCD,PA=AB=2,E是棱PA的中點(diǎn),則異面直線BE與AC所成角的余弦值是( )
A.
B.
C.
D.
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