Question

（2012•開封一模）已知函數(shù)f(x)=

x+1

ex

．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)g（x）=xf（x）+tf'（x）+e^-x（t∈R）．是否存在實(shí)數(shù)a、b、c∈[0，1]，使得g（a）+g（b）＜g（c）？若存在，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)小于（等于）0，求得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；利用導(dǎo)數(shù)大于（等于）0，求得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）假設(shè)存在a，b，c∈[0，1]使得g（a）+g（b）＜g（c），則問題轉(zhuǎn)化為2[g（x）]_min＜[g（x）]_max，對t進(jìn)行討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而確定函數(shù)的最值，進(jìn)而確定實(shí)數(shù)t的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）f/(x)=

-x

ex

當(dāng)x≥0時(shí)，f/(x)=

-x

ex

≤0，函數(shù)在區(qū)間（0，+∞）上為減函數(shù)；當(dāng)x＜0時(shí)，f/(x)=

-x

ex

＞ 0，函數(shù)在區(qū)間（-∞，0）上為增函數(shù)
（Ⅱ）假設(shè)存在a，b，c∈[0，1]使得g（a）+g（b）＜g（c），2[g（x）]_min＜[g（x）]_max
∵g(x)=

x2+(1-t)x+1

ex

，∴g/(x)=

-(x-t)(x-1)

ex

①當(dāng)t≥1時(shí)，g′（x）≤0，g（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，∴2g（1）＜g（0）即2•

3-t

e

＜1得t＞3-

e

2

＞1
②當(dāng)t≤0時(shí)，g′（x）≥0，g（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，∴2g（0）＜g（1）即2＜

3-t

e

得t＜3-2e＜0，
③當(dāng)0＜t＜1時(shí)，在x∈[0，t），
g′（x）＜0，g（x）在[0，t]上單調(diào)遞減，
在x∈（t，1]，g′（x）＞0，g（x）在[t，1]上單調(diào)遞增，
此時(shí)g（x）的最小值為g（t），最大值為max{g（0），g（1）}，
∴2g（t）＜max{g（0），g（1）}，即2×

t+1

et

＜•max{1，

3-t

e

}（★）        …（13分）
由（1）知f(t)=

t+1

et

在t∈[0，1]上單調(diào)遞減，故2×

t+1

et

≥

4

e

，而

3-t

e

≤

3

e

，∴不等式（★）無解     …（15分）
綜上所述，存在t∈(-∞，3-2e)∪(3-

e

2

，+∞)，使得命題成立．

點(diǎn)評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求函數(shù)的最值，注意分類討論思想的運(yùn)用，屬于中檔題．