Question

已知橢圓C的焦點F₁（-2

2

，0）和F₂（2

2

，0），長軸長6．
（1）設(shè)直線y=x+2交橢圓C于A、B兩點，求線段AB的中點坐標(biāo)．
（2）求過點（0，2）的直線被橢圓C所截弦的中點的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)焦點坐標(biāo)得出橢圓的焦點在x軸上，由橢圓的焦點坐標(biāo)得出c的值，再由長軸的值求出a的值，進(jìn)而利用橢圓的性質(zhì)求出b的值，確定出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，與直線y=x+2聯(lián)立，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，設(shè)出兩交點A與B的坐標(biāo)，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出兩根之和，即為兩交點橫坐標(biāo)之和，利用中點坐標(biāo)公式即可求出AB中點M的橫坐標(biāo)，代入直線方程可得M的縱坐標(biāo)，進(jìn)而確定出線段AB的中點坐標(biāo)；
（2）設(shè)過點（0，2）的直線方程的斜率為k，表示出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，由直線與橢圓有兩個不同的交點，得到根的判別式大于0，列出關(guān)于k的不等式，求出不等式的解集得到k的范圍，設(shè)出直線與橢圓的兩交點坐標(biāo)，利用韋達(dá)定理表示出兩交點橫坐標(biāo)之和，利用中點坐標(biāo)公式表示出線段AB中點C的橫坐標(biāo)，代入直線方程可得C的縱坐標(biāo)，消去參數(shù)k即可得到所求的軌跡方程．

解答：解：（1）由已知條件得橢圓的焦點在x軸上，其中c=2

2

，a=3，從而b=1，
所以其標(biāo)準(zhǔn)方程是：

x2

9

+y2=1．
聯(lián)立方程組

x2 9 +y2=1 y=x+2

，消去y得，10x²+36x+27=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB線段中點為M（x₀，y₀），
那么：x1+x2=-

18

5

，x0=

x1+x2

2

=-

9

5

，
所以y0=x0+2=

1

5

，
也就是說線段AB中點坐標(biāo)為(-

9

5

，

1

5

)；
（2）設(shè)直線方程為y=kx+2，
把它代入x²+9y²=9，
整理得：（9k²+1）x²+36kx+27=0，
要使直線和橢圓有兩個不同交點，則△＞0，即k＜-

3

3

或k＞

3

3

，
設(shè)直線與橢圓兩個交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），中點坐標(biāo)為C（x，y），
則x=

x1+x2

2

=

-18k

9k2+1

，y=

-18k

9k2+1

+2=

2

9k2+1

，
從參數(shù)方程

x= -18k 9k2+1 y= 2 9k2+1

（k＜-

3

3

或k＞

3

3

），
消去k得：x²+9（y-1）²=9，且|x|＜3，0＜y＜

1

2

．
綜上，所求軌跡方程為x²+9（y-1）²=9，其中|x|＜3，0＜y＜

1

2

．

點評：此題考查了直線與圓錐曲線的綜合問題，用到的知識有韋達(dá)定理，中點坐標(biāo)公式，參數(shù)方程，以及橢圓的簡單性質(zhì)，解答直線與圓錐曲線的交點問題時，常常聯(lián)立直線與圓錐曲線方程，消去一個變量得到一個一元二次方程，利用韋達(dá)定理及中點坐標(biāo)公式解決問題，本題第二問是動點的參數(shù)方程問題，設(shè)出直線的斜率k作為參數(shù)來求軌跡方程．