Question

已知f（x）=a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a_nxⁿ，且a₁，a₂，a₃，…，a_n組成等差數列（n為正偶數），又f（1）=n²，f（-1）=n；
（1）求數列{a_n}的通項a_n；
（2）求f（）的值；
（3）比較f（）的值與3的大小，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設數列的公差為d，因為f（1）=a₁+a₂+a₃+…+a_n=n²，即數列的前n項和為n²，則n有a₁+d=n²，又f（-1）=-a₁+a₂-a₃+…-a_n-1+a_n=n，即×d=n，d=2，聯立可得答案；
（2）根據題意，f（）=（）+3（）²+5（）³+…+（2n-1）（）ⁿ，將f（）看成一個數列的前n項和，由錯位相減法求解即可；
（3）由（2）的結論，f（）=-（2n+3）（）ⁿ，易得f（）＜，進而可得答案．
解答：解：（1）設數列的公差為d，
因為f（1）=a₁+a₂+a₃+…+a_n=n²，則na₁+d=n²，即2a₁+（n-1）d=2n．
又f（-1）=-a₁+a₂-a₃+…-a_n-1+a_n=n，即×d=n，d=2．
解得a₁=1．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）f（）=（）+3（）²+5（）³+…+（2n-1）（）ⁿ，①
兩邊都乘以，可得f（）=（）²+3（）³+5（）⁴+…+（2n-1）（）ⁿ⁺¹，②
①-②，得 f（ ）=+2（ ）²+2（ ）³+…+2（ ）ⁿ-（2n-1）（ ）ⁿ⁺¹，
即f（ ）=++（ ）²+…+（ ）^n-1-（2n-1）（ ）ⁿ⁺¹．
∴f（ ）=1+1+++…+-（2n-1）=1+-（2n-1）=1+2--（2n-1）=3-（2n+3）（）ⁿ；
則f（）=3-（2n+3）（）ⁿ；
（3）由（2）的結論，f（）=3-（2n+3）（）ⁿ，
又由（2n+3）（）ⁿ＞0，
易得3-（2n+3）（）ⁿ＜3，
則f（）＜3．
點評：本題考查數列與函數的綜合，涉及等差數列的性質與錯位相減法求數列的前n項和；要求學生熟練掌握等差數列的性質與數列求和的方法．