Question

已知a∈R，f（x）=（ax²-2x）e^-x，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）當a≥0時，求函數(shù)f（x）的極值點；
（2）若f（x）在[-1，1]上是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍；
（3）設(shè)n∈N^*，試證明e

n(n+1)

2

≥n!en，這里n!=1×2×…×n．

Answer 1

分析：（1）先確定函數(shù)的定義域然后求出函數(shù)的導(dǎo)涵數(shù)fˊ（x），在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后根據(jù)極值的定義判定極值即可．
（2）令導(dǎo)函數(shù)f′（x）=[-ax²+2（a+1）x-2]•e^-x≤0在x∈[-1，1]時恒成立即可求出a的范圍．
（3）利用（1）中的結(jié)論，構(gòu)造一個函數(shù)不等式，進而轉(zhuǎn)化為數(shù)列不等式，利用全正同向不等式相乘，不等號方向不變性即可證得結(jié)論

解答：解：函數(shù)f（x）的定義域為R
f′（x）=（2ax-2）e^-x-（ax²-2x）e^-x=[-ax²+2（a+1）x-2]e^-x，
（I）當a=0時，f′（x）=（2x-2）e^-x，
由f′（x）＜0，得x＜1，f′（x）＞0得x＞1
∴x=1是函數(shù)f（x）的極小值點
當a＞0時，令f′（x）=0得-ax²+2（a+1）x-2=0
解得該方程的兩個實根為x1=

a+1- a2+1

a

，x2=

a+1+ a2+1

a

，顯然x₁＜x₂，
隨著x的變化，f′（x）、f（x）的變化請況如下表

∴x1=

a+1- a2+1

a

是函數(shù)的極小值點，x2=

a+1+ a2+1

a

是函數(shù)的極大值點
（2）f'（x）=[-ax²+2（a+1）x-2]e^-x，
令g（x）=ax²-2（a+1）x+2
①若a=0，則g（x）=-2x+2，在（-1，1）內(nèi)，g（x）≥0，
即f'（x）≤0，函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上單調(diào)遞減．
②若a＞0，則g（x）=ax²-2（a+1）x+2，其圖象是開口向上的拋物線，對稱軸為x=

a+1

a

＞1，
∵g（1）=-a＜0，g（-1）=3a+4＞0，即在（-1，1）內(nèi)g（x）先正后負，f′（x）先負后正，
函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上不可能單調(diào)
③若a＜0，則g（x）=ax²-2（a+1）x+2，其圖象是開口向下的拋物線，
當且僅當g（-1）≥0且g（1）≥0，即-

4

3

≤a＜0時，在（-1，1）內(nèi)g（x）＞0，f'（x）＜0，
函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上單調(diào)遞減．
綜上所述，函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上單調(diào)遞減時，a的取值范圍是-

4

3

≤a≤0．
（3）由（1）知，當a=0時，f（x）=（-2x）e^-x，在x=1處取得最小值
∴對?x∈R，（-2x）e^-x≥f（1）=-2e^-1，即xe^-x，≤e^-1，e^x≥ex
令x=n，則eⁿ≥en，即e≥e，e²≥2e，e³≥3e…，eⁿ≥en
將上述不等式左右分別相乘得：e^1+2+3+…+n=n!eⁿ，
即e

n(n+1)

2

≥n!en

點評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，以及函數(shù)單調(diào)區(qū)間等有關(guān)基礎(chǔ)知識，不等式恒成立問題的解法，函數(shù)與數(shù)列的綜合運用，考查運算求解能力，轉(zhuǎn)化化歸能力，分類討論能力，難度較大．